二分图匹配相关定理

二分图匹配相关定理

1. Berge 定理

定理：匹配 \(M\) 是最大匹配，当且仅当二分图 \(G\) 中没有增广路。

当 \(M\) 是最大匹配时，显然没有增广路。

当 \(G\) 没有增广路时：

假设 \(M\) 不是最大匹配且 \(G\) 中没有增广路，那么存在一个匹配 \(P\) 满足 \(|P|>|M|\)。

考虑 \(M,P\) 的对称差 \(Q=P\oplus M\)，得到图 \(G'=(V,Q)\)。

\(G'\) 有一些性质：

• \(G'\) 中每个节点的度数 \(\leq 2\)，否则与 \(M,P\) 为匹配矛盾。即 \(G'\) 由孤立点、链、环组成。
• 在每个链或环中，来自 \(M\) 的边与来自 \(P\) 的边交替出现。

又由于 \(|P|>|M|\)，所以一定存在一条路径，使得路径上来自 \(P\) 的边数多于来自 \(M\) 的边数。

容易发现，这条路径是 \(G''=(V,M)\) 的一条增广路，与假设矛盾。

所以若 \(G\) 不存在增广路，则 \(M\) 是一个最大匹配。

定理：若 \(x\) 没有找到增广路，则经过之后的增广后 \(x\) 也不会找到增广路。

设 \(x\) 本没有找到增广路，找到增广路 \(C=u\rightsquigarrow v\) 并增广后，\(x\) 又找到了增广路。

设这条增广路为 \(D=x \rightsquigarrow y\)，那么 \(C\cap D\neq \varnothing\)，且 \(y=u\) 或 \(y=v\)。

设 \(C,D\) 的交点为 \(z\)。容易发现，\(x \rightsquigarrow z\) 与 \(z \rightsquigarrow u\) 或者 \(z \rightsquigarrow v\) 拼起来也一定是一条增广路，与 \(x\) 本没有增广路矛盾。

2. Konig 定理 / 二分图最小点覆盖

定理：二分图最小点覆盖大小等于最大匹配大小。

考虑以下构造过程：

1. 先求出二分图最大匹配；
2. 分别以左侧每个非匹配点作为起点，寻找增广路（一定失败），标记沿途经过的所有点；
3. 取出所有 左侧未被标记的点 和 右侧被标记的点，即为一组最小点覆盖。

首先证明它的大小等于最大匹配大小：

1. 左部非匹配点一定被标记（它们是起点），于是它们一定不被选择；
2. 右部非匹配点一定没被标记（否则找到增广路），于是它们也一定不被选择。
3. 匹配边两个端点的标记状态一定相同。
4. 对于每条匹配边的两个端点，如果都被标记则右部点被选择，否则左部点被选择。

于是每条匹配边恰好被选走一个端点，得证。

然后证明它是一组点覆盖。对于每条边 \((x,y)\) 进行讨论，不妨设 \(x\) 是左部点。

1. \(x,y\) 都是非匹配点。不存在，否则找到增广路；
2. \(x\) 为匹配点，\(y\) 为非匹配点。不存在，否则找到增广路；
3. \(x\) 为非匹配点，\(y\) 为匹配点。\(x,y\) 一定都被标记，于是这条边被覆盖；
4. \(x,y\) 均为匹配点。再分情况讨论：
   • \((x,y)\) 是匹配边，根据上面的证明，这条边被覆盖；
   • \((x,y)\) 是非匹配边。设 \(x,u\) 匹配，\(v,y\) 匹配。
     • \((x,u),(v,y)\) 均未被标记，\(x\) 被选择；
     • \((x,u),(v,y)\) 均被标记，\(y\) 被选择；
     • \((x,u)\) 被标记，\((v,y)\) 未被标记。\(x\) 被访问后，一定会继续访问 \(y\)，矛盾；
     • \((x,u)\) 未被标记，\((v,y)\) 被标记。\(x,y\) 都被选择。

于是所有的 \((x,y)\) 都被覆盖，得证。

3. 二分图最大独立集

定理：二分图最大独立集大小 等于 总点数减去最大匹配大小。

最小点覆盖的补集即为最大独立集。

4. DAG 最小路径覆盖问题

对于一张有向无环图 \(G\)，将其每个点 \(x\) 拆为 \(x_{in},x_{out}\)。若 \(G\) 中存在边 \((u,v)\)，则连边 \(u_{out},v_{in}\)，得到 \(G'\)。

\(G'\) 显然为一张二分图，称为 \(G\) 的 拆点二分图。

称一个路径集合 \(S\) 为 \(G\) 的 路径覆盖，当且仅当 \(G\) 中每个点 恰好 被 \(S\) 中路径覆盖一次。

称一个路径集合 \(S\) 为 \(G\) 的 可重路径覆盖，当且仅当 \(G\) 中每个点 至少 被 \(S\) 中路径覆盖一次。

定理：设 \(G\) 中点数为 \(n\)，\(G\) 的最小路径覆盖大小等于 \(n\) 减去 \(G'\) 的最大匹配大小。

\(S\) 是一个路径覆盖，当且仅当只保留 \(S\) 中的边，每个点的入度和出度都 \(\leq 1\)。

于是 \(G'\) 中的匹配与着 \(G\) 的路径覆盖构成双射。

最小化路径覆盖大小，等价于最小化起点个数，等价于最小化 \(x_{in}\) 未匹配点个数， 等价于最大匹配。__

定理：设 \(G_0\) 为 \(G\) 的传递闭包，\(G_0'\) 为 \(G_0\) 的拆点二分图。\(G\) 的最小可重路径覆盖等于 \(n\) 减去 \(G_0'\) 的最大匹配大小。

若两条路径 \(X,Y\) 在 \(p\) 处相交，那么就让 \(X\) 跳过 \(p\)。即设 \(X=\cdots,u,p,v,\cdots\)，直接连一条 \((u,v)\) 有向边。

那么对 \(G\) 做传递闭包得到 \(G_0\)，可重路径覆盖一定能转化为不可重链覆盖。

5. 二分图最大匹配的必须边、可行边、不可行边

对于二分图 \(G\)，若边 \((x,y)\) 在所有最大匹配中都出现，则 \((x,y)\) 为 \(G\) 的 最大匹配必须边；

若边 \((x,y)\) 在至少一组最大匹配中出现，则 \((x,y)\) 为 \(G\) 的 最大匹配可行边；

若边 \((x,y)\) 在所有一组最大匹配中都不出现，则 \((x,y)\) 为 \(G\) 的 最大匹配不可行边。

考虑网络流建模跑最大流，求出一组最大匹配，得到最后的残量网络 \(G_f\)。

对于所有的左部点 \(x\)，若其为非匹配点，则 \((S,x)\in E_f,(x,S)\notin E_f\)；否则 \((S,x)\notin E_f,(x,S)\in E_f\)；

对于所有的右部点 \(x\)，若其为非匹配点，则 \((x,T)\in E_f,(T,x)\notin E_f\)；否则 \((x,T)\notin E_f,(T,x)\in E_f\)；

对于所有的边 \((x,y)\)，若其为非匹配边，则 \((x,y)\in E_f,(y,x)\notin E_f\)；否则 \((x,y)\notin E_f,(y,x)\in E_f\)。

对于任意的左部非匹配点 \(x\) 与右部非匹配点 \(y\)，\(x\) 可达 \(y\)，等价于原二分图上存在 \(x\rightsquigarrow y\) 的增广路。

必须边判定定理：\((x,y)\) 为必须边，等价于其满足以下两个条件：

1. \(f(x,y)=1\)；
2. \(x,y\) 在 $ G_f$ 中不属于同一个 SCC。

首先有：$(x,y) $ 为必须边，等价于 \((x,y)\) 为匹配边，且删除 \((x,y)\) 后找不到增广路。

前者对应 \(f(x,y)=1\)，主要解决后者。

此时 \((y,x)\in E_f\)。删除 \((x,y)\) 这条匹配边后，分情况讨论：

• \(x\) 能通过一条增广路与 \(u\) 匹配。即在 \(G_f\) 上，\(x\) 可达 \(u\)，且 \(u\) 为右部非匹配点。又由于 \((u,T)\in E_f,(T,v)\in E_f\)，则 \(x,y,u,T\) 在同一个 SCC 内。
• \(y\) 能通过一条增广路与 \(v\) 匹配。即在 \(G_f\) 上，\(v\) 可达 \(y\)，且 \(v\) 为左部非匹配点。又由于 \((S,u)\in E_f,(x,S)\in E_f\)，则 \(x,y,v,S\) 在同一个 SCC 内。

命题得证。

可行边判定定理：\((x,y)\) 为可行边，等价于其至少满足以下两个条件之一：

1. \(f(x,y)=1\)；
2. \(x,y\) 在 \(G_f\) 中属于同一个 SCC。

首先有：\((x,y)\) 为可行边，等价于 \((x,y)\) 为匹配边，或者连接 \((x,y)\) 后可找到一条新的增广路。

还是主要解决后者，此时有 \((x,y)\in E_f\)。分情况讨论：

• \(x,y\) 均为非匹配点。不存在，否则与最大匹配矛盾；
• \(x\) 为匹配点，\(y\) 为非匹配点。设 \(x\) 原先与 \(u\) 匹配，则 \((u,x)\in E_f\)。设 \(u\) 能通过一条增广路与 \(v\) 匹配，则 \(v\rightsquigarrow u\)。继续得到 \((x,S),(S,v),(y,T),(T,u)\in E_f\)，得到 \(x,y,u,v,S,T\) 在同一个 SCC 内。
• \(x\) 为非匹配点，\(y\) 为匹配点。同理可证。
• \(x,y\) 均为匹配点。设 \(x,y\) 原先分别与 \(u,v\) 匹配，则 \((u,x),(y,v)\in E_f\)。继续分情况讨论：
  • \(u\) 能通过一条增广路与 \(v\) 匹配。则 \(v\rightsquigarrow u\)，得到 \(u,v,x,y\) 在同一个 SCC 内。
  • \(u\) 能通过一条增广路与 \(p\) 匹配。则 \(p \rightsquigarrow u,(y,T),(T,u),(S,p),(x,S)\in E_f\)，得到 \(x,y,u,p,S,T\) 同一个 SCC 内。
  • \(v\) 能通过一条增广路与 \(q\) 匹配。同理得到 \(x,y,v,q,S,T\) 在同一个 SCC 内。

命题得证。

不可行边判定定理：\((x,y)\) 为不可行边，等价于满足以下两个条件：

1. \(f(x,y)=0\)；
2. \(x,y\) 在 \(G_f\) 中不属于同一个 SCC。

不可行边的集合是可行边集合的补集，由此得证。