单侧递归线段树专题

Problem A. P4198 楼房重建

题意转化为 $\tan$ 值的前缀最大值个数。线段树节点上维护区间前缀最大值个数 $cnt$ 和区间最大值 $mx$。

考虑如何合并区间。设左子结点最大值为 $k$，我们需要知道右子节点 $>k$ 的前缀最大值个数。

设计一个函数 $Ask(p,k)$ 表示 $p$ 这个节点 $>k$ 的前缀最大值个数。

若 $ls.mx>k$，那么返回 $p.cnt-ls.cnt+Ask(ls,k)$；否则，左子结点全军覆没，返回 $Ask(rs,k)$。

复杂度 $O(n\log^2 n)$。

设 $pre_i$ 为 $i$ 前面第一个与 $a_i$ 相同的位置。一个 $[l,r]$ 合法，当且仅当 $\forall i\in [l,r],pre_i<l$。

对于一个 $r$，其合法的 $l$ 是一个以 $r$ 为右端点的区间。那么最小的左端点 $L=\max_{1\le i\le r} pre_i+1$。

维护区间前缀最大值之和即可。修改时只会影响 $O(1)$ 个 $pre_i$。复杂度 $O(n\log^2 n)$。

将括号能匹配的都匹配掉。若出现 $(]$ 这种东西或有剩下的未匹配左/右括号就不合法。

线段树维护区间不匹配括号。精确匹配很难做，所以考虑哈希。

设 $cl,cr$ 为节点未匹配右/左括号个数，$vl,vr$ 为未匹配左/右括号的哈希值，以及 $tag$ 为区间内有没有出现 $(]$。

合并区间时，若子节点有 $tag$ 标记，则直接返回；否则，假设 $ls.cr>rs.cl$，那么需要求 $rs$ 的前 $k$ 个未匹配 $)$ 的哈希值。

设 $Askl(p,k)$ 为 $p$ 节点中前 $k$ 个未匹配 $)$ 的哈希值。

若 $ls.cl\ge k$，那么返回 $Askl(ls,k)$；否则，返回 $ls.vl+Askl(rs,k-ls.cl+ls.cr)-p.tmp$，其中 $p.tmp$ 为 $rs$ 的未匹配 $)$ 被 $ls $ 匹配掉的哈希值，预处理即可。

询问时，把区间内的 $O(\log n)$ 个节点拿出来，一个个合并即可。

需要考虑哈希的高位、低位在哪边。复杂度 $O(n\log^2 n)$。

将草料看作 $($，每一天上都有一个 $)$，维护被匹配掉的 $)$ 的权值和即可。

可以离散化，也可以动态开点线段树。复杂度 $O(q\log^2 q)$ 或 $O(q\log^2 V)$。

扫码卡常题，大粪。

${\rm NAND}$ 没有结合律，不能直接维护区间 ${\rm NAND}$。但是可以维护每一位 $0/1$ 经过区间后会变成什么，可以位运算 $O(1)$ 合并区间。

信息不能差分，只能合并，不能像上面那样维护了。

设 $Askl(p,k)$ 为除去前 $k$ 个的右括号后右括号的信息。若 $ls.cl<k$，那么返回 $Askl(rs,k-ls.cl+ls.cr)$；否则，返回 $Askl(ls,k)+p.rv$，其中 $p.rv$ 为右子节点被左子结点匹配完后剩下的信息。

因为有 3 操作，所以需要上平衡树。由于要保证树高时刻是 $O(\log n)$ 的，所以用 FHQ-Treap。

$mid$ 上有一个括号就很烦人，我们可以先合并 $[l,mid-1]$ 和 $mid$，然后合并 $[l,mid],[mid+1,r]$。贼屎。

还要卡常，能改非递归的尽量都改，但还是只有 76 pts，~~卡不动了~~。

posted @ 2025-06-22 10:38 XP3301_Pipi 阅读(6) 评论(0) 收藏举报

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