P9140 [THUPC 2023 初赛] 背包 做题记录

P9140 [THUPC 2023 初赛] 背包 做题记录

Descreption

有 \(n\) 种物品，第 \(i\) 种物品单个体积为 \(v_i\)、价值为 \(c_i\)。

\(q\) 次询问，每次给出背包的容积 \(V\)，你需要选择若干个物品，每种物品可以选择任意多个（也可以不选），在选出物品的体积的和恰好为 \(V\) 的前提下最大化选出物品的价值的和。你需要给出这个最大的价值和，或报告不存在体积和恰好为 \(V\) 的方案。

\(1 \le n \le 50, 1 \le v_i \le 10^5, 1 \le c_i \le 10^6, 1 \le q \le 10^5, 10^{11} \le V \le 10^{12}\)。

Solution

注意到每次询问的 \(V\) 非常大。

那么对于这种极大容量的背包问题，我们可以加入一点贪心：尽可能选择 \(\dfrac{c_i}{v_i}\) 最大的物品。

但我们会受到 恰好 选出体积为 \(V\) 的限制，单纯的贪心显然不正确。

不妨以 \(v_i\) 作为模数，考虑同余最短路。设基准物品体积为 \(P\)，价值为 \(W\)。

假设我们有一种选择物品的方案，选出的物品体积之和为 \(V'\)，价值之和为 \(C'\)，且 \(V' \equiv V \pmod{P}\)。我们把剩下的背包全部用基准物品填满，答案为 \(C'+\dfrac{V-V'}{P} \times W=C'+\lfloor \dfrac{V}{P}\rfloor W-\lfloor \dfrac{V'}{P}\rfloor W\)。

我们需要最大化 \(C'-\lfloor \dfrac{V'}{P} \rfloor W\)。那么我们设 \(f_x\) 为 \(V' \equiv x \pmod{P}\) 时，\(C'-\lfloor \dfrac{V'}{P} \rfloor W\) 的最大值。

建边：\(f_x \rightarrow f_{(x+v_i)\bmod P}\)，边权为 \(c_i-\lfloor \dfrac{x+v_i}{P} \rfloor W\) 。

注意到这个图不会存在正权环。如果存在正权环，意味着存在一种选出物品体积之和为 \(kP\) 的方案，其价值比直接选择 \(k\) 个基准物品收益更大。这与 \(\dfrac{W}{P}\) 的极大性矛盾。

对于每个 \(f_x\)，我们最多选择 \(P\) 个物品，\(V'\) 的最大值 \(P \times \max(v_i)\leq 10^{10} \leq V\)，保证了正确性。

在实现中，我们无需真的建出图来。回归本质，同余最短路的本质还是 dp。对于一个体积为 \(v_i\) 的物品，在长度为 \(P\) 的环上会形成 \(\gcd(v_i,P)\) 个子环，每个环大小为 \(\dfrac{P}{\gcd(v_i,P)}\)。我们在每个环上转 \(2\) 圈，就可以覆盖所有的转移。

int n;
ll v[N],c[N],Q,W,P,f[M];

signed main(){
    //效率！效率！
    read(n),read(Q);
    P=1,W=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        read(v[i]),read(c[i]);
        if(c[i]*P>v[i]*W)
            P=v[i],W=c[i];
    }
    memset(f,-0x3f,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int d=__gcd(P,v[i]);
        for(int j=0;j<d;j++){
            for(int x=j,t=0;t<=1;t+=(x==j)){
                int y=(x+v[i])%P;
                Ckmax(f[y],f[x]+c[i]-((x+v[i])/P)*W);
                x=y;
            }
        }
    }
    while(Q--){
        ll V; read(V);
        ll r=V%P;
        ll ans=f[r]+V/P*W;
        if(ans<0) puts("-1");
        else printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}