一些结论

基本技巧

1. 正难则反，时光倒流；
2. 从最特殊的情况入手；以何种方式入手（从前到后，从小到大）；
3. 先弱化问题或增加限制；
4. 考虑我们只关心什么，去除一些冗余信息；
5. 图上问题，链 -> 树 -> 环 -> 图；
6. 答案是否不会太大，或可能的不同答案不会太多；
7. 错误的贪心经过一些修正也能解决问题，考虑什么时候会出错以及如何解决；
8. 根号分治；

图论

Proposition 1

竞赛图中一定存在一个点 \(x\)，使得 \(x\) 到达任意一点的距离不超过 \(2\)。

若答案为 \(1\)，那么存在一个入度为 \(0\) 的点。

否则，我们找到图中出度最大的点 \(x\)，设它指向的点集为 \(S\)，指向它的点集为 \(T\)。假设 \(T\) 中存在不能被 \(S\) 中的点一步到达的 \(y\)，那么 \(y\) 的出度至少为 \(|S|+1\)，与 \(x\) 出度最大矛盾。

Proposition 2

对于一个边长为 \(2\) 的 \(n\) 维立方体，将顶点视为点，将棱视为边，那么得到的图是一张二分图。

Proposition 3

无向图中，每条边都有独立的概率出现。

处理出 \(w(s)\) 表示 \(s\) 这个点集中一条边都不出现的概率。那么 \(s,t\) 不联通的概率为 \(v(s,t)=\dfrac{w(s \cup t)}{w(s)w(t)}\)。

证明：\(w(s\cup t)=w(s) \times w(t) \times v(s,t)\)。

数论

Proposition 1

设 \(v=\operatorname{lcm}(a_i)\)，\(v<\operatorname{lcm}(v,x)\) 当且仅当 \(\operatorname{lcm}(\gcd(a_i),x) < x\)。

两者都等价于：对 \(a_i\) 与 \(x\) 进行唯一分解，存在一个质数 \(p\)，使得 \(\max(c_i)<c_x\)。