【算法解决实际问题】BFS解决益智游戏

前言

小时候家里大人不让玩手机，所以我常玩的是华容道益智游戏，一关就要解很久，解不开也没心思去做别的事了。如果用算法解决实际生活中的问题，那么我第一个想解决的是快速通关华容道。
华容道是在一个拼图中有一个格子是空的，利用这个空着的格子去移动其他的滑块（卒、张飞、赵云、关羽等），最后顺利让曹操从中间的空格出来。以第二关七步成诗进行操作，最初，没有用考虑最少步数完成，如图：

这种游戏一般都有一些套路，类似于魔方还原公式，使用的是一些技巧，我们不研究这个令人脑壳痛的技巧，学了算法后知道这个可以使用快乐无比的暴力搜索算法解决————BFS算法框架解决类似的益智游戏。

BFS算法框架

BFS核心思想是把一些问题抽象成图，从一个点开始，像四周扩散，找到到终点最近的距离。常使用的是队列这个数据结构，每次将一个节点周围的所有节点加入队列。

BFS算法框架

//计算从起点到终点最近距离
int BFS(Node start,Node target){
Queue<Node> q;//队列q，核心数据结构
Set<Node> visited;//避免走回头路
q.offer(start);//将起点加入队列
visited.add(start);
int step=0;//记录扩散的步数
while(q not empty){
	int sz=q.size();
	/*将当前队列所有的节点像四周扩散*/
	for(int i=0;i<sz;i++){
		Node cur =q.poll();
		/*划重点：这里判断是否到达终点*/
		if(cur is target)
			return step;
		/*将cur的相邻界点加入队列*/
		for(Node x:cur.adj()){
			if(x not in visited){
				q.offer(x);
				visited.add(x);
			}
		}
		/*划重点：更新步数*/
		step++;
	}
}

cur.adj()泛指cur相邻的节点，比如说二维数组中，cur上下左右四面的位置，就是相邻的节点。
visited的主要作用是防止走回头路。

BFS与DFS

DFS用递归的形式，用到了栈结构，先进后出。
BFS选取状态用队列的形式，先进先出。
DFS的复杂度与BFS的复杂度大体一致，不同之处在于遍历的方式与对于问题的解决出发点不同。
一般来说哈，在找最短路径的时候使用BFS，其他时候DFS偏多，主要是递归代码好写叭。

双向BFS优化

传统的BFS框架是从起点开始向四周扩散，遇到终点时停止。而双向BFS则是从起点和终点同时开始扩散，当两边有交集的时候停止。双向BFS还是遵循BFS算法框架的，只是不再使用队列，而是使用HashSet方便快捷判断两个集合是否有交集。while循环的最后交换q1和q2的内容，所以只要默认扩散q1就相对轮流扩散q1和q2。
不过双向BFS也有局限性，必须得先知道终点在哪里。

问题分析

可以将其类比为滑动拼图问题，leetcode第773题滑动谜题就是滑动拼图问题，以此题为例，进行演算分析。
题目描述如下：

思路描述

这是计算最小步数的问题，正如之前所说，遇到这类问题，最先思考BFS算法。而这个题目转化为BFS的时候，我们会面临这样的问题：

1. 一般的BFS算法时从一个起点到终点进行寻路的，拼图问题是在不断的交换数字。
2. 假设这个问题可以转化为BFS问题，那么起点与终点该如何处理？把数组放入队列是个麻烦低效的事情。
   BFS是一种暴力搜索算法
   解决第一个问题：只要涉及暴力穷举的问题，BFS就可以用，并且可以最快的找到最优解。可以将第一个问题转化为“怎么样穷举board当前局面下可能衍生出的所有局面？”可以以数字0为基准，将0和上下左右的数字进行交换就可以了：
   
   每次先找到数字0，然后和周围数字进行交换，形成新的局面加入队列，当第一次抵达终点时，就以最少步数赢得游戏。
   解决第二个问题：这是一个2x3的二维数组，可以压缩为一个一维的字符串。而二维数组有上下左右的概念，压缩为一维后，获得上下左右的索引成为了一个难点。可以手动写出来这个映射，如下：

vector<vector<int>> neighbor={
  {1,3},
  {0,4,2},
  {1,5},
  {0,4},
  {3,1,5},
  {4,2}
};

这个含义是在一维字符串中，索引i在二维数组中的相邻索引为neighbor[i]：

eg. negihbor[4]={3,1,5}

这两个问题解决后，就可以套用之前讲到的BFS算法框架（套路）：

int slidingPuzzle(vector<vector<int>>& board) {
    int m = 2, n = 3;
    string start = "";
    string target = "123450";
    // 将 2x3 的数组转化成字符串
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            start.push_back(board[i][j] + '0');
        }
    }
    // 记录一维字符串的相邻索引
    vector<vector<int>> neighbor = {
        { 1, 3 },
        { 0, 4, 2 },
        { 1, 5 },
        { 0, 4 },
        { 3, 1, 5 },
        { 4, 2 }
    };

    /******* BFS 算法框架开始 *******/
    queue<string> q;
    unordered_set<string> visited;
    q.push(start);
    visited.insert(start);
    int step = 0;
    while (!q.empty()) {
        int sz = q.size();
        for (int i = 0; i < sz; i++) {
            string cur = q.front(); q.pop();
            // 判断是否达到目标局面
            if (target == cur) {
                return step;
            }
            // 找到数字 0 的索引
            int idx = 0;
            for (; cur[idx] != '0'; idx++);
            // 将数字 0 和相邻的数字交换位置
            for (int adj : neighbor[idx]) {
                string new_board = cur;
                swap(new_board[adj], new_board[idx]);
                // 防止走回头路
                if (!visited.count(new_board)) {
                    q.push(new_board);
                    visited.insert(new_board);
                }
            }
        }
        step++;
    }
    return -1;
    /******* BFS 算法框架结束 *******/
}

结果

回到我们最初想要实现最少步数完成第二关，利用我们上面所讨论的BFS算法思想，在实际应用（微信小程序——经典三国华容道）上实践后得到七步完成第二关——七步成诗。如图：

再以实际应用（应用市场————数字华容道快应用）进行测试，未使用算法和使用算法对比后，可见明显差别，如图所示：

备注

文章书写时结合了labuladong博主有关BFS的算法描述，在问题问分析和思路描述是看了许多博客资料，自己理解后的想法。实践结果可能存在一定误差，这是因为数字华容道的每次测试，开局所给的拼图是随机的，可能存在细微的差距。