CF1647D (Round #777) 题解 数论

前言：分讨题爬

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题意：

给定 \(x,d(2\le x,d\le 10^9)\)，定义 \(d\) 的倍数为“好数”，不能分解为好数之积的好数为“漂亮数”。
保证 \(x\) 是好数，询问 \(x\) 是否有两种方式分解为漂亮数之积。多组询问。

（注：本文中“分解”和“拆”均指分解为积）

首先，令 \(x=d^k\times s\)，其中 \(k>0,d\nmid s\)。

那么 \(k-1\) 个 \(d\) 和一个 \(d\times s\) 即为一种分解方案。

接下来考虑构造另一种。

1. 若 \(k=1\)，则显然没有第二种方案。

则接下来的讨论中均有 \(k>1\)。

2. 若 \(s\) 为合数，则将其分解为两个数，分别乘在两个 \(d\) 上，则得到第二种方案。

则接下来的讨论中 \(s\) 均为质数或 \(1\)。

那么 \(s\) 拆不动了，只能拆 \(d\)。

3. 若 \(d\) 为质数，那么它就没得拆，所以没有第二种方案。

则现在剩下的情况是 \(k>1\)，\(s\) 不是合数，\(d\) 是合数。

4. 若 \(d\) 中含有不同于 \(s\) 的质因数，则将这个质因数乘在一个 \(d\) 上，剩下的部分与 \(s\) 一起乘在另一个 \(d\) 上，则得到第二种方案，连上被拆的一共需要 \(3\) 个 \(d\)，所以需要 \(k>2\)。

那么注意到，接下来的讨论中有 \(d=s^q\)，其中 \(q>1\)。

5. 若 \(q>2\)，则 \(d\) 可以拆为 \(s\) 和 \(s^{q-1}\)。将 \(s^2\) 和 \(s^{q-1}\) 分别乘在一个 \(d\) 上，则得到第二种方案，连上被拆的一共需要 \(3\) 个 \(d\)，所以需要 \(k>2\)。

6. 若 \(q=2\)，则 \(d\) 可以拆为两个 \(s\)。现在不能将 \(s^2\) 乘在 \(d\) 上了（因为结果不是漂亮数），所以只能将三个 \(s\) 分别乘在三个 \(d\) 上，连上被拆的一共需要 \(4\) 个 \(d\)，所以需要 \(k>3\)。

注意到后三类可以整合为对 \(s^2\) 与 \(d\) 是否相等的判断。

分类清楚了，代码就容易实现了。加一个质数判断即可。时间复杂度 \(O(T\sqrt{x})\)。

code

#include<cstdio>
using namespace std;
int T,x,d,k;
bool check(int n){
	if(n<4) return 1;
	if(n%2==0||n%3==0) return 0;
	for(int i=5;i*i<=n;i+=6)
		if(n%i==0||n%(i+2)==0) return 0;
	return 1;
}
int main(){
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d",&x,&d);
		for(k=0;x%d==0;x/=d,++k);
		if(k<2) printf("NO\n");
		else if(!check(x)) printf("YES\n");
		else if(check(d)) printf("NO\n");
		else printf(k>(x*x==d)+2?"YES\n":"NO\n");
	}
	return 0;
}