Sudoku
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前言：
自从暑假大礼包开始，题目越来越难，昨天的就是道紫题，我就有预感今天的题不简单，果不其然今天就是黑题了（Σ(っ °Д °;)っ
题目大意📕：
题目说的简单明了，就是给个数独，16宫格来让你填。
思路🖊：
一 . 搜索
这个搜索量肯定很大，但不是不可能实现的，要加亿点剪枝优化，但我们今天的主题不是这个，所以大家自行上网搜dalao们的题解或者自行尝试吧（逃ε=ε=ε=┏(゜ロ゜;)┛
二 . DLX
没错！这是个没学过的知识，今天我将给大家讲解一下这个奇怪的玩意儿。
DLX，全名：Dancing Links X ，是算法X加上著名程序设计大师Knuth所设计的————双向循环交叉链表，又称舞蹈链（请大家记住它）
这个东东是解决一类叫做精准覆盖的问题。
什么是“精准覆盖”问题呢？？请看下面：
已知目前有r个集合，
请选出其中的一些集合使它们的并集为1,2,3,...,n
并且你要让这些选出的集合的交集为空集。
我们可以怎样解决呢？接下来就要请到X算法了：
我们可以用一个 $ r $ 行 $ n $ 列的矩阵表示精准覆盖问题
第 $ i $ 行第 $ j $ 个元素代表第 $ i $ 个集合是否存在元素 $ j $
举个栗子：
对于数据 $ n = $ 7, $ r = $ 6:
6 7
1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 1
0 0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1
接下来我们考虑采用回溯法解决这个问题。
每一次选择一个没有被覆盖的元素，也就是一列。然后选择包含这个元素的集合进行覆盖，也就是一行。那么在矩阵中，我们每选择一个没有被删除的，接着看一下这一列中还有哪些行是1，尝试删除该行，回溯时恢复改行。当然，如果我们选了一行，那么就把这一行其它的1所在的列也应当删除。恢复同理。
这种思路就是我们的X算法了，但可惜的是，恢复与删除这个操作做起来不太容易，那怎么办呢？现在就是用到舞蹈链（双向循环交叉链表）的时候了
我将分为“双向”、“循环”、“交叉”三个部分讲解。（链表都知道撒）
1 . 双向
双向，顾名思义，就是左右两边，我们可以矩阵中每一个点用指针与其左右两边的点相连，左边的点我们用 $ l [ i ] $ 表示，右边的点用 $ r [ i ] $ 表示。
2 . 交叉
什么叫交叉，横纵即为交叉！所以我们再给每一个点用指针与其上下两个点都连起来。上： $ u [ i ] $ , 下： $ d [ i ] $
3 . 循环
循环，就是让一行或者一列能够进行循环往复，那么我们可以让最右边的所有节点的R指向最左边的节点，最左边节点的L指向最右边的节点，上下也是如此。
舞蹈链讲完了，那该如何运用呢？？？如何进行删除，恢复两个操作呢？？？
我们先来看第一个问题，如何删除一列？（也就是找到一个元素后选中它）
我们可以在每一列的顶端添加一个节点——————虚拟节点
该节点的 $ u $ 数组指向其所在列的最后一个节点， $ d $ 数组指向其所在列的第一个节点。 $ l $ 与 $ r $ 分别指向旁边两列的虚拟节点。
那么删除一列只需要将该列虚拟节点左边的节点的 $ r $ 指向该列虚拟节点右边的虚拟节点，将该列虚拟节点的右边虚拟节点的 $ l $ 指向该列虚拟节点的左边的虚拟节点。(就是正常链表删除一个点的操作)
问题是删完了吗？没有，这一列里还有节点跟其他节点连着呢。
所以我们应当将该列所有节点找到，然后再把这列所有节点所在的所有行的其它节点的上下节点互指。这样就删完一列了。
那么恢复一列不就是逆操作吗？（懒，懒得讲了） （逃ε=ε=ε=┏(゜ロ゜;)┛
给个大概的示意图吧：
管你听没听懂，往下看就完了
还看不懂？？给个代码吧：
struct DLX
{
int n,m;///行列的规模
int u[maxnode],d[maxnode],l[maxnode],r[maxnode];///结点四个方向的指针
int col[maxnode],row[maxnode];///结点的行列指针
int h[maxn],s[maxn];
///h[]行首结点（额外的行结点）,s[]每一列的个数
bool visit[maxn];///v[]是H()函数的标记数组
int ansed,ans[maxn],siz;///答案的个数,答案,总结点数
void ini(int _n,int _m)///初始化
{
n=_n,m=_m;///规模
for(int i=1;i<=m;i++)///第1->m个结点作为列首节点
{
u[i]=i;///上下指针都指向自己
d[i]=i;
l[i]=i-1;///左右指针相连
r[i]=i+1;
col[i]=i;///列首节点的列指针指向本列
row[i]=0;///列首节点的行指针为第0行
}
///第0个结点(表头head)左指针指向node1，右指针指向nodem
///第m个结点右指针指向head，使得行首结点首尾相接
l[0]=m,r[0]=1;
r[m]=0;
siz=m;
clclow(h);///列首结点初始化为-1，表明该行全为0，没有指向哪个为1的结点
clc(ans);
ansed=0;///答案的数量为0
}
void Link(int R,int c)
{
siz++;///结点数+1
///接下来的操作是在Node_c和Node_c->down之间插入一个结点
///该列从上到下的行号不一定是从小到大的，但是插入的复杂度为O(1)
u[siz]=c;///插入结点的up指针指向c
d[siz]=d[c];///插入结点的down指针指向c->down
u[d[c]]=siz;///结点c->down的up指针指向插入结点
d[c]=siz;///列首结点c的down指针指向插入结点
row[siz]=R,col[siz]=c;///设置行标和列标
if(h[R]<0)///第r行还没有元素
{
h[R]=siz;///第r行的行指针指向插入结点
r[siz]=l[siz]=siz;///插入的结点的左右指针都指向自己
}
else
{///在行首结点H[r]和H[r]->right插入结点
l[siz]=h[R];
r[siz]=r[h[R]];
l[r[h[R]]]=siz;
r[h[R]]=siz;
}
return ;
}
void del(int c)///删除列及对应的行
{
r[l[c]]=r[c];///删除列首结点
l[r[c]]=l[c];
for(int i=d[c];i!=c;i=d[i])///遍历该列每个结点node_i
for(int j=r[i];j!=i;j=r[j])///将与node_i同列的结点删除
{
d[u[j]]=d[j];
u[d[j]]=u[j];
}
return ;
}
void recover(int c)///恢复列及对应的行
{
for(int i=u[c];i!=c;i=u[i])
for(int j=l[i];j!=i;j=l[j])///恢复行
{
d[u[j]]=j;
u[d[j]]=j;
}
r[l[c]]=c;///恢复列首结点
l[r[c]]=c;
return ;
}
bool Dancing(int dep) ///开始跳舞（前方高能！！！主要部分）
{
if(r[0]==0) ///表头的右指针指向自己
{
ansed=dep;
return true;
}
int c=r[0];///表头右指针指向的列首结点c
del(c);///删除第c列，及该列的1所在的行
for(int i=d[c];i!=c;i=d[i])
{
ans[dep]=row[i];
for(int j=r[i];j!=i;j=r[j])
del(col[j]);
if(Dancing(dep+1))
return true;
for(int j=l[i];j!=i;j=l[j])
recover(col[j]);
}
return false;
}
}
这里为什么要讲DLX？肯定是因为它可以解决数独啊！
而且DLX还是目前已知最快解决数独的方法
怎么用它来处理数独呢？那么我们就要把数独问题转换成精确覆盖问题了
这也谈到了一个精确覆盖问题的建模。不过也非常简单，每列代表一个限制条件，每行代表一种方案，若方案i满足限制j，则矩阵 $ mp[i][j]= $ 1，因此矩阵的构造既要满足所有限制条件，又不能漏掉可能的方案。
每行中每个数只能出现一遍，row(x,v)表示第x行有数字v。
每列中每个数只能出现一遍，col(x,v)表示第x列有数字v。
每宫中每个数只能出现一遍，block(i,v)表示编号为i的九宫格块内有数字v
每格中只能填一个数，exist(x,y)表示第x行y列有数字。
现在不就搞明白了吗？这道题就是纯纯的DLX的模板。直接上代码！！！
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 20000;
int m = 16 * 16 * 4, tmp;
int u[MAXN], d[MAXN], l[MAXN], r[MAXN];
int s[MAXN], col[MAXN], row[MAXN];
int ans[MAXN], top;
char mp[20][20];
struct Node{
int x, y;
char z;
}node[MAXN];
inline void init(){
for (register int i = 0; i <= m; ++i ){
l[i] = i - 1;
r[i] = i + 1;
s[i] = 0;
d[i] = u[i] = i;
}
l[0] = m;
r[m] = 0;
tmp = m + 1;
return ;
}
inline void add(int &near1, int &near2, int x, int y){
row[tmp] = x;
col[tmp] = y;
s[y] ++ ;
u[tmp] = y;
d[tmp] = d[y];
u[d[y]] = tmp;
d[y] = tmp;
r[near1] = l[near2] = tmp;
r[tmp] = near2;
l[tmp] = near1;
near2 = tmp++ ;
return;
}
inline void remove(int p){
r[l[p]] = r[p];
l[r[p]] = l[p];
for (register int i = d[p]; i != p; i = d[i])
for (register int j = r[i]; j != i; j = r[j]){
s[col[j]] -- ;
u[d[j]] = u[j];
d[u[j]] = d[j];
}
return ;
}
inline void resume(int p){
for (register int i = u[p]; i != p; i = u[i]){
for (register int j = l[i]; j != i; j = l[j]){
u[d[j]] = j;
d[u[j]] = j;
s[col[j]] ++ ;
}
}
r[l[p]] = p;
l[r[p]] = p;
return;
}
inline bool dfs(){
if (!r[0]) return true;
int minn = r[0];
for (register int i = r[0]; i; i = r[i])
if (s[i] < s[minn]) minn = i;
remove(minn);
for (register int i = d[minn]; i != minn; i = d[i]){
ans[++top] = row[i];
for (register int j = r[i]; j != i; j = r[j])
remove(col[j]);
if (dfs()) return true;
for (register int j = l[i]; j != i; j = l[j])
resume(col[j]);
top--;
}
resume(minn);
return false;
}
int main(){
cin>>mp[0];
while(1){
for (register int i = 1; i < 16; ++i)
cin>>mp[i];
init();
for (register int i = 0, n = 1; i < 16; ++i)
for (register int j = 0; j < 16; ++j){
int a = 0, b = 15;
if (mp[i][j] != '-') a = b = mp[i][j] - 'A';
for (register int k = a; k <= b; ++k, ++n){
int near1 = tmp, near2 = tmp;
node[n] = {i, j, k + 'A'};
add(near1, near2, n, i * 16 + j + 1);
add(near1, near2, n, 256 + i * 16 + k + 1);
add(near1, near2, n, 256 * 2 + j * 16 + k + 1);
add(near1, near2, n, 256 * 3 + (i / 4 * 4 + j / 4) * 16 + k + 1);
}
}
dfs();
for (register int i = 1; i <= top; ++i){
Node t = node[ans[i]];
mp[t.x][t.y] = t.z;
}
for (register int i = 0; i < 16; ++i) puts(mp[i]);
if (cin >> mp[0]) puts("");
else break;
}
return 0;
}
总结：
哈哈哈哈，又多了一个解决数独的方法，其实DLX听起来还是挺容易的，虽然这道题是黑题，其实难度也不是特别高，学会了DLX后，这就是道板子题！（以后解决数独就不用麻烦的写搜索了，狂喜）
附：
DLX可能有 许多 一些同学听的不是很懂，大家可以去网上自行搜索，或者去 OI WiKi 进行查阅！
看在写了这么长篇大幅的份上，路过的同学们给个赞行不行（坏笑~~
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