关于基本勾股数那些事

若\(a^2+b^2=c^2,gcd(a,b,c)=1\)
我们将满足这两个条件的数对\((a,b,c)\)称为一组基本勾股数,如(3,4,5)就是一组，(5,12,13)也是一组.

那么有以下结论：

\[ \left\{ \begin{matrix} a=m^2-m^2\\ b=2mn\\ c=m^2+n^2\\ \end{matrix} \right. \]

其中\(m\)与\(n\)需满足:

\[ \left\{ \begin{matrix} m>n>0\\ m和n中有一奇一偶\\ gcd(m,n)=1 \end{matrix} \right. \]

如何证明呢？

下面进入正题

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1.关于奇偶性

观察以下的基本勾股数：

\((3,4,5),(5,12,13),(21,20,29)......\)

可以发现,a与b之间有一奇一偶

那么，存不存在a与b同奇偶的情况呢？

我们假设a,b都是偶数，则
\(a=2x,b=2y,a^2=4x^2,b^2=4y^2\)

代入\(a^2+b^2=c^2\)可得\(c^2=4(x^2+y^2)\)

与\(gcd(a^2,b^2,c^2)=1\)矛盾

所以a和b不能同为偶数

同理，设a,b都是奇数，也会矛盾，这里不再赘述，自行假设

最后，我们可以得到

a与b的奇偶性不同

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2.进一步假设

在这里，我们假设\(a\)%\(2=1,b\)%\(2=0\)

由\(a^2+b^2=c^2\)可以得到\(b^2=c^2-a^2=(c+a)(c-a)\)

光凯说过：“当你不知怎么做时，大胆设元吧！”

我们设\(c-a=2X,b^2=2Y,c+a=2Z\)

聪明的你，告诉我，为什么\(c-a\)与\(c+a\)为偶数呢？

自己想

代回原式,得：

\((2Y)^2=2Z*2X\)

\(Y^2=XZ\)

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3.关于互质

已知\(gcd(a,b,c)=1\)，\(a\)%\(2=1,b\)%\(2=0\)，那么：a与c是否互质？

设a与c不互质,那么\(gcd(a,c)=d(d>1)\)

则\(a=dx,c=dy\)

则\(b=c^2-a^2=d^2(y^2-x^2)\)

则与\(gcd(a,b,c)=1\)矛盾

所以，a与c互质

那么，X与Z是否互质？

我们设X与Z不互质，那么\(gcd(X,Z)=d(d>1)\)

那么\(X=dx,Z=dy\)

\(Y=d^2\sqrt{XZ}\)

则与\(gcd(X,Y,Z)=1\)矛盾

所以，X与Z互质

！ ！ ！

这不就有想法了吗？

\(Y^2=XZ\)，\(Y^2\)为平方数，所以......

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4.关于平方

因为A与C互质，AC为平方数，所以......

X与Z都是平方数！！！

为什么，自己想

设\(A=n^2,C=m^2\)

中间方程自己解！

则：

\[ \left\{ \begin{matrix} a=m^2-n^2\\ b=2mn\\ c=m^2+n^2\\ \end{matrix} \right. \]

完结撒花！！