说点时间复杂度和空间复杂度

算法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂度。

1、大O符号

 参考词条信息。

摘自词条部分

大O符号在分析算法效率的时候非常有用。举个例子,解决一个规模为 n 的问题所花费的时间(或者所需步骤的数目)可以被求得:T(n) = 4n^2 - 2n + 2。

当 n 增大时,n^2; 项将开始占主导地位,而其他各项可以被忽略--举例说明:当 n = 500,4n^2; 项是 2n 项的1000倍大,因此在大多数场合下,省略后者对表达式的值的影响将是可以忽略不计的。

进一步看,如果我们与任一其他级的表达式比较,n^2; 项的系数也是无关紧要的。例如一个包含 n^3; 或 2^n项的表达式,即使 T(n) = 1,000,000n^2;,假定 U(n) = n^3;,一旦 n 增长到大于1,000,000,后者就会一直超越前者(T(1,000,000) = 1,000,000^3; = U(1,000,000))。

这样,大O符号就记下剩余的部分,写作:

T(n)∈O(n^2)

并且我们就说该算法具有 2的时间复杂度。

1.间复杂度

(1)时间频度 一个算法执行所耗费的时间,从理论上是不能算出来的,必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试,只需知道哪个算法花费的时间多,哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
(2)时间复杂度 在刚才提到的时间频度中,n称为问题的规模,当n不断变化时,时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此,我们引入时间复杂度概念。 一般情况下,算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。
     时间频度不同,但时间复杂度可能相同。如:T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同,但时间复杂度相同,都为O(n2)。
    按数量级递增排列,常见的时间复杂度有:常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2),立方阶O(n3),..., k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低。
 (3)最坏时间复杂度和平均时间复杂度  最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般不特别说明,讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界,这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。
     在最坏情况下的时间复杂度为T(n)=0(n),它表示对于任何输入实例,该算法的运行时间不可能大于0(n)。 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下,算法的期望运行时间。
    指数阶0(2n),显然,时间复杂度为指数阶0(2n)的算法效率极低,当n值稍大时就无法应用。
(4)求时间复杂度
【1】如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。
@Test
	public void timeComplexity() {
		// TODO Auto-generated method stub
		int x = 1, y = 100,count=0;
		while (y > 0) {
			if (x > 10) {
				x = x - 10;
				y--;
			} else
				x++;
			
			System.out.println(x + "===" + y + "===" + count++);
		}
	}

  解答: T(n)=O(1),
这个程序看起来有点吓人,总共循环运行了1100次,但是我们看到n没有?
没。这段程序的运行是和n无关的,
就算它再循环一万年,我们也不管他,只是一个常数阶的函数。

【2】当有若干个循环语句时,算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度f(n)决定的。
 x=1; 
for(i=1;i<=n;i++) 
        for(j=1;j<=i;j++)
           for(k=1;k<=j;k++)
               x++;   
该程序段中频度最大的语句是(5),内循环的执行次数虽然与问题规模n没有直接关系,但是却与外层循环的变量取值有关,而最外层循环的次数直接与n有关,因此可以从内层循环向外层分析语句(5)的执行次数:  则该程序段的时间复杂度为T(n)=O(n3/6+低次项)=O(n3)
 
【3】算法的时间复杂度不仅仅依赖于问题的规模,还与输入实例的初始状态有关。
在数值A[0..n-1]中查找给定值K的算法大致如下:   
i=n-1;            
while(i>=0&&(A[i]!=k))       
      i--;        
return i;        
此算法中的语句(3)的频度不仅与问题规模n有关,还与输入实例中A的各元素取值及K的取值有关: ①若A中没有与K相等的元素,则语句(3)的频度f(n)=n; ②若A的最后一个元素等于K,则语句(3)的频度f(n)是常数0。
(5)时间复杂度评价性能 
有两个算法A1和A2求解同一问题,时间复杂度分别是T1(n)=100n2,T2(n)=5n3。(1)当输入量n<20时,有T1(n)>T2(n),后者花费的时间较少。(2)随着问题规模n的增大,两个算法的时间开销之比5n3/100n2=n/20亦随着增大。即当问题规模较大时,算法A1比算法A2要有效地多。它们的渐近时间复杂度O(n2)和O(n3)从宏观上评价了这两个算法在时间方面的质量。在算法分析时,往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分,而经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度,其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。
2.空间复杂度
一个程序的空间复杂度是指运行完一个程序所需内存的大小。利用程序的空间复杂度,可以对程序的运行所需要的内存多少有个预先估计。一个程序执行时除了需要存储空间和存储本身所使用的指令、常数、变量和输入数据外,还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为现实计算所需信息的辅助空间。程序执行时所需存储空间包括以下两部分。  
(1)固定部分。这部分空间的大小与输入/输出的数据的个数多少、数值无关。主要包括指令空间(即代码空间)、数据空间(常量、简单变量)等所占的空间。这部分属于静态空间。
(2)可变空间,这部分空间的主要包括动态分配的空间,以及递归栈所需的空间等。这部分的空间大小与算法有关。
一个算法所需的存储空间用f(n)表示。S(n)=O(f(n))  其中n为问题的规模,S(n)表示空间复杂度。

3、常用的算法的时间复杂度和空间复杂度

 

1、时间复杂度 
(1)时间频度 一个算法执行所耗费的时间,从理论上是不能算出来的,必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试,只需知道哪个算法花费的时间多,哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。 
(2)时间复杂度 在刚才提到的时间频度中,n称为问题的规模,当n不断变化时,时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此,我们引入时间复杂度概念。 一般情况下,算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。 
在各种不同算法中,若算法中语句执行次数为一个常数,则时间复杂度为O(1),另外,在时间频度不相同时,时间复杂度有可能相同,如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同,但时间复杂度相同,都为O(n2)。 按数量级递增排列,常见的时间复杂度有:常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2),立方阶O(n3),..., k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低。 2、空间复杂度 与时间复杂度类似,空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。记作: S(n)=O(f(n)) 我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。讨论方法与时间复杂度类似,不再赘述。 
(3)渐进时间复杂度评价算法时间性能   主要用算法时间复杂度的数量级(即算法的渐近时间复杂度)评价一个算法的时间性能。 

2、类似于时间复杂度的讨论,一个算法的空间复杂度(Space Complexity)S(n)定义为该算法所耗费的存储空间,它也是问题规模n的函数。渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度。 
空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。一个算法在计算机存储器上所占用的存储空间,包括存储算法本身所占用的存储空间,算法的输入输出数据所占用的存储空间和算法在运行过程中临时占用的存储空间这三个方面。算法的输入输出数据所占用的存储空间是由要解决的问题决定的,是通过参数表由调用函数传递而来的,它不随本算法的不同而改变。存储算法本身所占用的存储空间与算法书写的长短成正比,要压缩这方面的存储空间,就必须编写出较短的算法。算法在运行过程中临时占用的存储空间随算法的不同而异,有的算法只需要占用少量的临时工作单元,而且不随问题规模的大小而改变,我们称这种算法是“就地\"进行的,是节省存储的算法,如这一节介绍过的几个算法都是如此;有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关,它随着n的增大而增大,当n较大时,将占用较多的存储单元,例如将在第九章介绍的快速排序和归并排序算法就属于这种情况。

如当一个算法的空间复杂度为一个常量,即不随被处理数据量n的大小而改变时,可表示为O(1);当一个算法的空间复杂度与以2为底的n的对数成正比时,可表示为0(10g2n);当一个算法的空I司复杂度与n成线性比例关系时,可表示为0(n).若形参为数组,则只需要为它分配一个存储由实参传送来的一个地址指针的空间,即一个机器字长空间;若形参为引用方式,则也只需要为其分配存储一个地址的空间,用它来存储对应实参变量的地址,以便由系统自动引用实参变量。 


参考

http://blog.sina.com.cn/s/blog_6b32b0870100u0od.html

http://blog.sina.com.cn/s/blog_6b7c77e00101hzgr.html

https://www.douban.com/note/91775206/

 http://blog.chinaunix.net/uid-21457204-id-3060260.html

http://www.cnblogs.com/songQQ/archive/2009/10/20/1587122.html

 

posted on 2017-03-14 11:55  自由灵  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏

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