格路计数的一类（降维？）技巧

模拟赛考到了，记录一下。

题面：

给你二维平面上 \(n\) 个点，定义移动：$(x,y) \to (x+1,y) / (x-1,y) / (x,y+1) / (x,y-1) $（一个点可以移动到上下左右与这个点相邻的点）。移动每个点 \(m\) 次，使得最后这些点的终点是同一个点，求移动的合法方案数。\(\bmod\ {10^9+7}\)，限制坐标绝对值 \(\le 10^5\)，\(n\le 50,m \le 10^5\)。

---

Sol：

暴力做法：

枚举二维平面上每个点作为终点，再枚举 \(\Delta x\)，然后 \(O(m)\) 枚举贡献。时间复杂度 \(O(m^3)\)，空间复杂度 \(O(m^2)\)。祭天了。。。。但是你拼上 \(ans=0\) 的答案你会得到整整 \(80\) 分的高分？？？甚至 \(ans=0\) 一共是 \(50\) 分？？？？？？？？？？？？

std：

考虑将点旋转 \(45\) 度。设新点坐标 \((x',y')\)。

然后发现我们的移动变成了：

\((x',y') \to (x'+1,y'+1) / (x'+1,y'-1)/(x'-1,y'+1) /(x'-1,y'-1)\)

然后发现 \(x,y\) 独立了，可以分开两维，对每一维分别暴力枚举值域计算贡献，最后将两部分贡献乘起来即可。

#include<bits/stdc++.h>
#include<bits/extc++.h>
using __gnu_pbds::cc_hash_table;
#define int long long

using namespace std;

const int Size=(1<<20)+1;
char buf[Size],*p1=buf,*p2=buf;
char buffer[Size];
int op1=-1;
const int op2=Size-1;
#define getchar()                                                              \
(tt == ss && (tt=(ss=In)+fread(In, 1, 1 << 20, stdin), ss == tt)     \
	? EOF                                                                 \
	: *ss++)
char In[1<<20],*ss=In,*tt=In;
inline int read()
{
	int x=0,c=getchar(),f=0;
	for(;c>'9'||c<'0';f=c=='-',c=getchar());
	for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())
		x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	return f?-x:x;
}
inline void write(int x)
{
	if(x<0) x=-x,putchar('-');
	if(x>9)  write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}

#ifndef ONLINE_JUDGE
#define ONLINE_JUDGE
#endif
#define ull unsigned long long

const ull mod=1e9+7;
const int N=4e5+5;
ull frac[N],g[N];
ull ksm(ull x,int p)
{
	ull ans=1;
	while(p)
	{
		if(p&1) (ans*=x)%=mod;
		(x*=x)%=mod;
		p>>=1;
	}
	return ans;
}

int n,m;
int x[N],y[N];
ull ks[N];

ull C(int n,int m)
{
	if(m<0||n<0||n-m<0) return 0;
	return frac[n]*g[m]%mod*g[n-m]%mod;
}
int calc(int dx)
{
	if(dx>m) return 0;
	if((m-dx)&1) return 0;
	int last=(m-dx)/2;
	return C(m,last);
}

int dodp(int *a)
{
	int minn=0x3f3f3f3f,maxn=-0x3f3f3f3f;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) minn=min(minn,a[i]),maxn=max(maxn,a[i]);
	for(int i=minn-1e5;i<=maxn+1e5;i++)
	{
		int nw=1;
		for(int j=1;j<=n;j++) (nw*=calc(abs(i-a[j])))%=mod;
		(ans+=nw)%=mod;
	}
	return ans;
}

signed main()
{
	freopen("wolf.in","r",stdin);	
	freopen("wolf.out","w",stdout);

	ks[0]=1;
	frac[0]=g[0]=1;
	for(int i=1;i<N;i++) ks[i]=ks[i-1]*2%mod,frac[i]=frac[i-1]*i%mod,g[i]=ksm(frac[i],mod-2);
	n=read();
	m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) x[i]=read(),y[i]=read(); 
	if(n==1) { cout<<ksm(4,m); return 0; }

	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int a=x[i],b=y[i];
		x[i]=a-b;
		y[i]=a+b;
	}
	cout<<dodp(x)*dodp(y)%mod;

	return 0;
}