第二章作业

一、用伪代码描述找第 k 小的数的分治算法
找第 k 小的数，基本思路其实是从快速排序那里"偷"来的：快排每次选一个基准元素 pivot，把数组分成两半，左边都比 pivot 小，右边都比 pivot 大。那我们划分完之后看一眼 pivot 排在了第几位（记为 p，从 1 开始数）：

如果 p 正好等于 k，那 pivot 就是第 k 小的数，直接收工；
如果 k < p，说明第 k 小的数在左半边，递归去左半边找；
如果 k > p，说明第 k 小的数在右半边，而且因为在左半边已经"淘汰"了 p 个数，所以去右半边找第 k - p 小的数。
和快排最大的区别就是：快排两边都要排，而我们只需要递归其中一边，另一边直接扔掉不管了，所以平均下来比快排快。

伪代码如下：

plaintext

Select(A, left, right, k):
if left == right:
return A[left] // 只剩一个元素，它就是答案

pivotIndex = Partition(A, left, right) // 划分，返回基准的最终下标
p = pivotIndex - left + 1 // pivot 是区间里第 p 小

if k == p:
return A[pivotIndex]
else if k < p:
return Select(A, left, pivotIndex - 1, k) // 去左边找第 k 小
else:
return Select(A, pivotIndex + 1, right, k - p) // 去右边找第 k-p 小
其中 Partition 就是快排里那个划分过程：选 A[right] 当基准，用双指针（或者单指针）扫一遍，把比基准小的放左边，比基准大的放右边，最后把基准放到中间，返回它的下标。

二、时间复杂度分析
最好情况：O(n)​

最幸运的情况是第一次划分，pivot 就恰好落在第 k 个位置，一次 Partition（O(n)）就结束了。就算不收工那么快，只要每次划分都比较均匀（ pivot 大致在中位附近），问题的规模就是 n + n/2 + n/4 + …，这是一个等比数列求和，收敛到 2n，所以仍然是 O(n)​。

最坏情况：O(n²)​

最坏情况是每次选的 pivot 都是当前区间里最大或最小的元素，划分极度不平衡——比如数组已经有序，而我们固定选最后一个元素当 pivot。这样每次只能把问题规模减少 1，总代价是 n + (n-1) + (n-2) + … = O(n²)​。

平均情况：O(n)​

随机选 pivot 的话，可以证明期望时间复杂度是 O(n)。实际写代码时一般会随机挑基准，或者课本上还提到一种"中位数的中位数"（BFPRT）的选法，可以保证划分不至于太烂，把最坏情况也压到 O(n)，不过那个选 pivot 本身就要花不少功夫，常数比较大，实际中不如随机化来得实在。

三、对分治法的体会和思考
学完这一章，我对分治法的理解大概可以概括成三个词：分、治、合——把大问题拆成若干个结构相同的小问题，递归地解决小问题，再把结果合并起来。

几点比较深的体会：

分治的关键不在"分"，而在"合"的代价。​ 主定理（Master Theorem）那一块让我印象挺深的：T(n) = aT(n/b) + f(n)，最后复杂度谁说了算，就看子问题的总开销 aT(n/b) 和合并开销 f(n) 谁占主导。比如归并排序合并要 O(n)，快排划分也是 O(n)，都是 nlogn；但如果"合"这步设计得不好，分了也白分。

有时候"不全递归"反而更快。​ 这次这个找第 k 小的题就是很好的例子：和快排一样的划分框架，但因为我们知道答案只可能在一边，所以只递归一半，平均复杂度就从 O(nlogn) 降到了 O(n)。这让我意识到分治不是死板的模板，想清楚"哪些子问题其实不用解"往往比埋头写递归更重要。

分治和递归是绑在一起的，边界条件特别容易翻车。​ 写递归的时候最容易出错的就是终止条件：区间只剩一个元素时直接返回、k 减错了（忘了减去左边淘汰掉的 p 个）、递归区间多一个少一个……这些小地方我在本机调的时候都踩过坑。所以我的习惯是先把边界想清楚再写主体。

递归也不是白来的，它有开销。​ 每次递归调用都要压栈，n 很大的时候有爆栈的风险。像这个算法其实可以很方便地改成迭代写法（用 while 循环不断缩小区间），把递归深度从 O(logn) 降到 O(1) 的额外空间，这在工程上是个挺实用的技巧。