[EC-Final 2019] B. Black and White

题目链接：QOJ5039

题意

\(n+1\) 条横线和 \(m+1\) 条竖线形成了若干交点，第 \(i\) 条横线和第 \(j\) 条竖线交点为 \((i,j)\)。

\((i,j),(i+1,j),(i,j+1),(i+1,j+1)\) 四个点围成一个格子，若 \(i\equiv j\pmod 2\) 则这个格子权值为 \(1\)，否则权值为 \(-1\)。

现在要从 \((0,0)\) 走到 \((n,m)\)，每一次在 \((x,y)\) 只能往 \((x+1,y)\) 或 \((x,y+1)\) 走。

一条路径的权值为其左侧所有格子的权值和，求权值为 \(k\) 的路径个数。

数据组数 \(T\le 100\)，\(n,m\le 10^5\)。

题解

若 \(n+m\) 为奇数，枚举最后一步走的方向。

这样我们最终会恰好走偶数步。

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考虑所有左上到右下的对角线，一条线上所有格子权值必然相等。

补全左上角，使得每一条对角线的格子数量相等。（并对读入的 \(k\) 进行修改）

在走完第 \(i\) 步之后计算第 \(i\) 条对角线带来的权值。（最后一步其实啥都没算）

然后考虑相邻的两步带来的权值。

如果每一次走两步，那么每一次走的时候，必然第一步结算正权值，第二步结算负权值。

那么有以下四种情况：

1. 两步都走上，总共带来 \(1\) 的权值；
2. 两步都走右，总共带来 \(0\) 的权值；
3. 第一步走上，第二步走右，总共带来 \(0\) 的权值；
4. 第一步走右，第二步走上，总共带来 \(1\) 的权值。

也就是说其实我们只关心第偶数步走了上还是右。

权值为定值 \(k\)，那么我们直接就知道了所有偶数步中，有几步走了上，有几步走了右。奇数步同理。

两个组合数乘一下即可。