qoj6277 Linear Congruential Generator

SOLUTION FROM WUMIN4

题意

给出无穷序列 \(X_0\) 的值和 \(a,c\)，令 \(X_{i+1}=(aX_i+c)\bmod m\)。

给出 \(l_1,r_1,l_2,r_2\)，求：

\[\sum_{i=l_1}^{r_1} \sum_{j=l_2}^{r_2}( X_i \bmod (X_j+1)) \]

\(1\le T\le 10^5,1\le \sum m\le 10^6,1\le a,c,X_0<m,1\le l_1,r_1,l_2,r_2\le 10^6\)。

思路

原式化为：

\[\sum_{i=l_1}^{r_1} \sum_{j=l_2}^{r_2} X_i - \lfloor\frac{X_i}{X_j+1}\rfloor(X_j+1) \\ (r_2-l_2+1)\sum_{i=l_1}^{r_1} X_i - \sum_{i=l_1}^{r_1} \sum_{j=l_2}^{r_2} \lfloor\frac{X_i}{X_j+1}\rfloor(X_j+1) \]

观察到当 \((X_j+1)\) 越来越大时，\(\lfloor\frac{X_i}{X_j+1}\rfloor\) 所算出来的重复的值会越来越多。

具体的，由于 \(X_i\) 的上限为 \(m-1\)，对于 \(X_j\) 最多只会出现 \(\lfloor\frac{m-1}{X_j+1}\rfloor\) 个不同的元素。

假如 \(X_j\) 也互不相同，则总元素个数即为 \(\sum_{i=1}^m \lfloor\frac{m-1}{i}\rfloor\)，这个数量是 \(m\log m\) 级别的。

对于每个 \(X_j\)，所有满足 \(k(X_j + 1)\le X_i < (k + 1)(X_j + 1)\) 的 \(X_i\) 得到的答案都是相同的。

于是统计在 \([l_2,r_2]\) 内 \([0,m-1]\) 的每个 \(X_j\) 出现的次数，容易证明原序列总是会出现长度不超过 \(m\) 的循环节，并枚举 \(k=0,1,\cdots,\lfloor\frac{m-1}{X_j+1}\rfloor\)，统计 \(X_i\) 的出现次数，求和即可。