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SOLUTION FROM WUMIN4

题意

若长度为 \(n\) 的数组 \(a\) 排序后为 \(b\)，定义 \(a\) 的权值为 \(\sum_{i=1}^n \lfloor\frac{b_i\cdot i^k}{w}\rfloor \bmod 998244353\)。

有 \(q\) 次操作，每次操作修改一个 \(a_i\)，随后输出 \(a\) 的权值。

\(n,a_i\le 10^5,1\le k,w\le 5\)

思路

将式子拆成 \(\frac{\sum_{i=1}^n (b_i\cdot i^k-(b_i\cdot i^k) \bmod w)}{w}\)。

于是我们要维护 \((\sum_{i=1}^n b_i\cdot i^k)\bmod p\) 和 \(\sum_{i=1}^n ((b_i\cdot i^k) \bmod w)\)。

由于 \(a_i\le 10^5\)，可以在权值线段树上维护。

1. \((\sum_{i=1}^n b_i\cdot i^k)\bmod p\)

假设左节点为 \(b_1 1^k+b_2 2^k+\cdots+b_l l^k\)，右节点为 \(b'_1 1^k+b'_2 2^k+\cdots+b'_r r^k\)。

则合并后有 \(b_1 1^k+b_2 2^k+\cdots+b_l l^k+b'_1 (l+1)^k+b'_2 (l+2)^k+\cdots+b'_r (l+r)^k\)。

问题在于如何计算

\[\sum_{i=1}^r b'_i (l+i)^k \]

二项式定理拆开得到

\[\sum_{i=1}^r \sum_{j=0}^{k} b'_ii^j\binom{k}{j}l^{k-j} \]

换个位置

\[\sum_{j=0}^{k} \sum_{i=1}^r b'_ii^j\binom{k}{j}l^{k-j} \]

于是维护该节点的 \(f_j=\sum_{i=1}^r b'_ii^j\)。由于 \(\binom{k}{j}l^{k-j}\) 与 \(i\) 无关，则有

\[\sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j}l^{k-j} f_j \]

因为 \(k\le 5\)，直接转移。

2. \(\sum_{i=1}^n (b_i\cdot i^k) \bmod w\)

考虑如果有 \(x\equiv y \pmod{w}\)，则有 \(x^k\equiv y^k \pmod{w}\)。

于是对每个节点存储 \(c_{i,j}\)，表示 \(x\bmod w=i,b_x \bmod w=j\) 的值的数量，可以 \(O(w^2)\) 转移。