qoj2571 Aidana and Pita

题意

给出 \(n\) 个数 \(a_i\)，你需要把这些数分成三组，使得每组之和的极差最小，给出方案。

\(3\le n\le 25,1\le a_i\le 10^7\)。

思路

\(n\le 25\)，考虑折半搜索。

发现 \(3^{13}\approx 10^6\)，所以复杂度是对的。

于是问题就变为给出两个三元组集合 \((a_i,b_i,c_i),(a'_j,b'_j,c'_j)\)，要求从两组集合中分别选出一个三元组使得 \((a_i+a'_j,b_i+b'_j,c_i+c'_j)\) 的极差最小。

容易发现只需要统计所有 \(a_i+a'_j\ge b_i+b'_j\ge c_i+c'_j\) 的集合，此时的极差为 \(a_i-c_i+a'_j-c'_j\)。

令 \(x_i=a_i-b_i,y_i=b_i-c_i,x'_j=a'_j-b'_j,y'_j=b'_j-c'_j\)，题目转换为给出两个二元组集合 \((x_i,y_i),(x'_j,y'_j)\)，从两组集合中分别选出一个二元组满足 \(x_i\ge -x'_j,y_i\ge -y'_j\)，且 \((x_i+y_i+x'_j+y'_j)\) 最小。

剩下的就简单了。将 \(x'_j,y'_j\) 取反，按照 \(x\) 为关键字将 \((x_i,y_i)\) 排序并遍历，找出最大的 \(x'_j+y'_j\) 满足 \(x_i\ge x'_j,y_i\ge y'_j\) 即可，可以离散化后使用树状数组（不离散化应该也可以），此时的最小值即为 \(x_i+y_i-x'_j-y'_j\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
struct pi{
	int x,y,id;
};
int n,a[30],tc[30],c[2200005],ci[2200005],to[2200005],mn=INT_MAX,i1,i2;
vector<pi> p1,p2;
vector<int> lsh,ans;
void add(int x,int v,int id){
	while(x<=lsh.size()+1){
		if(v>c[x])
			c[x]=v,ci[x]=id;
		x+=(x&-x);
	}
}
pair<int,int> qu(int x){
	int res=INT_MIN,id=0;
	while(x){
		if(c[x]>res)
			res=c[x],id=ci[x];
		x-=(x&-x);
	}
	return {res,id};
}
bool cmp(pi x,pi y){
	return x.x<y.x;
}
void dfs(vector<pi> &p,int l,int r,pi nw,int x){
	if(x==r+1){
		p.push_back(nw);
		return;
	}
	dfs(p,l,r,{nw.x+a[x],nw.y,nw.id},x+1);
	dfs(p,l,r,{nw.x-a[x],nw.y+a[x],nw.id+tc[x-l]},x+1);
	dfs(p,l,r,{nw.x,nw.y-a[x],nw.id+2*tc[x-l]},x+1);
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
	memset(c,-0x3f,sizeof(c));
	tc[0]=1;
	for(int i=1;i<=13;i++)
		tc[i]=tc[i-1]*3;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
	dfs(p1,1,n/2,{0,0,0},1);
	dfs(p2,n/2+1,n,{0,0,0},n/2+1);
	for(pi &v:p2)
		v.x*=-1,v.y*=-1;
	for(pi v:p1)
		lsh.push_back(v.y);
	for(pi v:p2)
		lsh.push_back(v.y);
	sort(lsh.begin(),lsh.end());
	int len=unique(lsh.begin(),lsh.end())-lsh.begin();
	for(pi &v:p1){
		int x=lower_bound(lsh.begin(),lsh.begin()+len,v.y)-lsh.begin()+1;
		to[x]=v.y,v.y=x;
	}
	for(pi &v:p2){
		int x=lower_bound(lsh.begin(),lsh.begin()+len,v.y)-lsh.begin()+1;
		to[x]=v.y,v.y=x;
	}
	sort(p1.begin(),p1.end(),cmp);
	sort(p2.begin(),p2.end(),cmp);
	int l=0;
	for(pi v:p1){
		while(l<p2.size()&&p2[l].x<=v.x)
			add(p2[l].y,p2[l].x+to[p2[l].y],p2[l].id),l++;
		pair<int,int> tmp=qu(v.y);
		int res=v.x+to[v.y]-tmp.first;
		if(res<mn)
			mn=res,i1=v.id,i2=tmp.second;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(i<=n/2) cout<<i1%3+1<<" ",i1/=3;
		else cout<<i2%3+1<<" ",i2/=3;
	}
	return 0;
}