CF627A XOR Equation

思路

注意到 \(a+b=(a\operatorname{xor}b)+2\times(a\operatorname{and}b)\)，其中 \((a\operatorname{xor}b)\) 可以理解为不进位加法，\(2\times(a\operatorname{and}b)\) 可以理解为加上进位的数。

于是将 \(s\) 与 \(x\) 带入得到 \(2\times(a\operatorname{and}b)=s-x\)，因为 \(2\times(a\operatorname{and}b)\) 必定为一个非负整数，且为偶数，于是得到第一个无解条件：

• 当 \(s-x\) 为负数或奇数时，不存在合法的数对。

当 \(s-x\) 为偶数时，可以得到 \((a\operatorname{and}b)=\frac{s-x}{2}\)，于是我们便知道了 \((a\operatorname{xor}b)\) 与 \((a\operatorname{and}b)\) 的值，下面对这两个数的二进制的每一位进行分类讨论：

1. \((a\operatorname{xor}b)\) 和 \((a\operatorname{and}b)\) 的第 \(i\) 位均为 \(0\)。

此时根据 \((a\operatorname{xor}b)\) 可以知道 \(a,b\) 的第 \(i\) 位只能全为 \(0\) 或全为 \(1\)，又因为 \((a\operatorname{and}b)\) 的第 \(i\) 位为 \(0\)，所以 \(a,b\) 的第 \(i\) 位只能全为 \(0\)。

2. \((a\operatorname{xor}b)\) 的第 \(i\) 位为 \(0\)，\((a\operatorname{and}b)\) 的第 \(i\) 位为 \(1\)。

同理可得 \(a,b\) 的第 \(i\) 位均为 \(1\)。

3. \((a\operatorname{xor}b)\) 的第 \(i\) 位为 \(1\)，\((a\operatorname{and}b)\) 的第 \(i\) 位为 \(0\)。

此时 \(a,b\) 的第 \(i\) 位有两种选择（即 \((0,1)\) 或 \((1,0)\)）。

4. \((a\operatorname{xor}b)\) 和 \((a\operatorname{and}b)\) 的第 \(i\) 位均为 \(1\)。

当 \((a\operatorname{and}b)\) 的第 \(i\) 位为 \(1\) 时，\((a\operatorname{xor}b)\) 一定为 \(0\)，则此时无解。

因为 \(a,b\) 均为正整数，则当 \(s=x\)（即 \((a\operatorname{and}b)=0\) 时），答案会包含 \(a=0\) 与 \(b=0\) 的情况，需要减去这两种情况。

总结

当 \(s-x\) 为负数或奇数或 \((a\operatorname{xor}b)\) 和 \((a\operatorname{and}b)\) 二进制下第 \(i\) 位均为 \(1\) 时，不存在合法的数对。

当 \((a\operatorname{xor}b)\) 的第 \(i\) 位为 \(1\)，\((a\operatorname{and}b)\) 的第 \(i\) 位为 \(0\) 时，答案需要乘 \(2\)。

当 \(s=x\) 时，答案需要减 \(2\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int s,x,ans=1;
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
	cin>>s>>x;
	if((s-x)&1ll||s-x<0)
		cout<<0;
	else{
		for(int i=63;i>=0;i--){
			if(!((((s-x)>>1ll)&(1ll<<i))!=0)&&(x&(1ll<<i)))
				ans*=2;
			if(((((s-x)>>1ll)&(1ll<<i))!=0)&&(x&(1ll<<i)))
				ans=0;
		}
		if(s==x) ans-=2;
		cout<<ans;
	}
	return 0; 
}