[HNOI2017]抛硬币

Description
小A和小B是一对好朋友,他们经常一起愉快的玩耍。最近小B沉迷于××师手游,天天刷本,根本无心搞学习。但是已经入坑了几个月,却一次都没有抽到SSR,让他非常怀疑人生。勤勉的小A为了劝说小B早日脱坑,认真学习,决定以抛硬币的形式让小B明白他是一个彻彻底底的非洲人,从而对这个游戏绝望。两个人同时抛b次硬币,如果小A的正面朝上的次数大于小B正面朝上的次数,则小A获胜。但事实上,小A也曾经沉迷过拉拉游戏,而且他一次UR也没有抽到过,所以他对于自己的运气也没有太大把握。所以他决定在小B没注意的时候作弊,悄悄地多抛几次硬币,当然,为了不让小B怀疑,他不会抛太多次。现在小A想问你,在多少种可能的情况下,他能够胜过小B呢?由于答案可能太大,所以你只需要输出答案在十进制表示下的最后k位即可。

Input
有多组数据,对于每组数据输入三个数a,b,k,分别代表小A抛硬币的次数,小B抛硬币的次
数,以及最终答案保留多少位整数。
\(1\leqslant a,b\leqslant 10^{15},b\leqslant a\leqslant b+10^4,1\leqslant k\leqslant 9\),数据组数小于等于10。

Output
对于每组数据,输出一个数,表示最终答案的最后k位为多少,若不足k位以0补全。

Sample Input
2 1 9

Sample Output
000000004
6
3 2 1


题目要求
\[ \sum\limits_{i=0}^b\binom{b}{i}\sum\limits_{j=i+1}^a\binom{a}{j} \]
暴力可以过30pts,后缀和优化一下,可以拿到70pts(考场上拿了70分就赶快想其他题去)

怎么拿到满分嘞?我们来推柿子
\[ \begin{align}Ans&=\sum\limits_{i=0}^b\binom{b}{i}\sum\limits_{j=i+1}^a\binom{a}{j}\nonumber\\&=\sum\limits_{i=0}^b\binom{b}{i}(2^a-\sum\limits_{j=0}^i\binom{a}{j})\nonumber\\&=2^{a+b}-\sum\limits_{i=0}^b\sum\limits_{j=0}^i\binom{b}{i}\binom{a}{j}\nonumber\end{align} \]
我们令\(i+j=k\),那么后面那部分的式子变为
\[ \begin{align}\sum\limits_{i=0}^b\sum\limits_{j=0}^i\binom{b}{i}\binom{a}{j}&=\sum\limits_{i=0}^b\sum\limits_{k=i}^{2i}\binom{b}{i}\binom{a}{k-i}\nonumber\\&=\sum\limits_{k=0}^{b}\sum\limits_{i=0}^k\binom{b}{i}\binom{a}{k-i}\nonumber\end{align} \]
\(\sum\limits_{i=0}^k\binom{b}{i}\binom{a}{k-i}\)相当于枚举\(k\)中的部分在\(a\)中或在\(b\)中,所以\(\sum\limits_{i=0}^k\binom{b}{i}\binom{a}{k-i}=\binom{a+b}{k}\)

所以原式可以变成
\[ Ans=2^{a+b}-\sum\limits_{k=0}^{b}\binom{a+b}{k} \]
然后就可以暴力枚举了……还是70pts啊喂,难道优化没啥用?

肯定有用的!我们考虑一下数据中还有一个条件没有用上:\(b-a\leqslant 10^4\)

我们将杨辉三角第\(a+b\)行的前\(b\)个元素标记一下,由于对称,所以我们把后\(b\)个元素也标记一下,可以发现,没有标记的元素至多只有\(2(a-b)\)个!

我们可以\(O(a-b)\)减去中间那部分,然后除2即可,所以答案为
\[ \begin{align}Ans&=2^{a+b}-\dfrac{2^{a+b}-\sum\limits_{i=b+1}^{a+1}\binom{a+b}{i}}{2}\nonumber\\&=2^{a+b-1}+\dfrac{\sum\limits_{i=b+1}^{a+1}\binom{a+b}{i}}{2}\nonumber\end{align} \]

做完了吗?并没有,2在\(10^x\)下没有逆元……所以这个方法不可行

考虑一下\(\sum\limits_{i=b+1}^{a+1}\binom{a+b}{i}\)这部分也是有对称的!除了\(a+b\)为偶数时……会单出来一个\(\binom{a+b}{(a+b)/2}\)

但其实,\(\binom{a+b}{(a+b)/2)}=\binom{a+b-1}{(a+b)/2-1}+\binom{a+b-1}{(a+b)/2}\),我们可以发现,\(\binom{a+b-1}{(a+b)/2-1}=\binom{a+b-1}{(a+b)/2}\)

所以\(\dfrac{\binom{a+b}{(a+b)/2}}{2}=\binom{a+b-1}{(a+b)/2-1}=\binom{a+b-1}{(a+b)/2}\)

那么最终答案为
\[ Ans=2^{a+b-1}+\sum\limits_{i=b+1}^{\lfloor(a+b-1)/2\rfloor}\binom{a+b}{i}+\binom{a+b-1}{(a+b)/2}[(a+b)\%2=0] \]

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define it iterator
#define vt value_type
#define inf 0x7f7f7f7f
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline char gc(){
    static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
template<typename T>inline T frd(T x){
    int f=1; char ch=gc();
    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc())   if (ch=='-')    f=-1;
    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
    return x*f;
}
template<typename T>inline T read(T x){
    int f=1;char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())  if (ch=='-')    f=-1;
    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())    x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
    return x*f;
}
inline void print(int x){
    if (x<0)    putchar('-'),x=-x;
    if (x>9)    print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
template<typename T>inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T>inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
template<typename T>inline T swap(T &x,T &y){T t=x; x=y,y=t;}
const int N=2e6;
namespace Math{
    int P[3],V[3],C[3],f[3][N+10],SP;
    int mlt(int a,ll b,int p=inf){
        int res=1;
        for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%p)  if (b&1)    res=1ll*res*a%p;
        return res;
    }
    void prepare(int p){
        P[1]=2,V[1]=f[1][0]=1,C[1]=0;
        while (p%2==0)  V[1]<<=1,p>>=1,C[1]++;
        for (int i=1;i<=V[1];i++)   f[1][i]=1ll*f[1][i-1]*(i%2?i:1)%V[1];
            
        P[2]=5,V[2]=f[2][0]=1,C[2]=0;
        while (p%5==0)  V[2]*=5,p/=5,C[2]++;
        for (int i=1;i<=V[2];i++)   f[2][i]=1ll*f[2][i-1]*(i%5?i:1)%V[2];
        
        SP=V[1]*V[2];
    }
    int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
    void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
        if (!b){x=1,y=0;return;}
        exgcd(b,a%b,x,y);
        int t=x; x=y,y=t-a/b*y;
    }
    int Ex_GCD(int a,int b,int c){
        int d=gcd(a,b),x,y;
        if (c%d)    return -1;
        a/=d,b/=d,c/=d;
        exgcd(a,b,x,y);
        x=(1ll*x*c%b+b)%b;
        return x;
    }
    int work(ll n,int i){
        if (n<=1)   return 1;
        int res=1ll*mlt(f[i][V[i]],n/V[i],V[i])*f[i][n%V[i]]%V[i];
        return 1ll*res*work(n/P[i],i)%V[i];
    }
    ll count(ll n,int i){return n<P[i]?0:count(n/P[i],i)+n/P[i];}
    int calc(ll n,ll m,int i){
        ll cnt=count(n,i)-count(m,i)-count(n-m,i);
        if (C[i]<=cnt)  return 0;
        return 1ll*work(n,i)*Ex_GCD(work(m,i),V[i],1)%V[i]*Ex_GCD(work(n-m,i),V[i],1)%V[i]*mlt(P[i],cnt)%V[i];
    }
    int Ex_C(ll n,ll m){
        if (n<m)    return 0;
        int Ans=0;
        Ans=(Ans+1ll*Ex_GCD(SP/V[1],V[1],1)*(SP/V[1])%SP*calc(n,m,1)%SP)%SP;
        Ans=(Ans+1ll*Ex_GCD(SP/V[2],V[2],1)*(SP/V[2])%SP*calc(n,m,2)%SP)%SP;
        return Ans;
    }
}
using namespace Math;
int main(){
    ll a,b; int p,last=0;
    while (~scanf("%lld%lld%d",&a,&b,&p)){
        p=mlt(10,p); int Ans=0;
        if (p!=last)    prepare(last=p);
        if (a==b){
            Ans=mlt(2,a+b-1,p)-Ex_C(a+b-1,a-1);
            Ans=(Ans%p+p)%p;
            while (Ans<p/10)    putchar('0'),p/=10;
            printf("%d\n",Ans);
            continue;
        }
        if ((a+b)%2==0) Ans=Ex_C(a+b-1,((a+b)>>1)-1);
        for (ll i=b+1;i<(a+b+1)>>1;i++) Ans=(Ex_C(a+b,i)+Ans)%p;
        Ans=mlt(2,a+b-1,p)+Ans;
        Ans=(Ans%p+p)%p;
        while (Ans<p/10)    putchar('0'),p/=10;
        printf("%d\n",Ans);
    }
    return 0;
}
posted @ 2019-03-31 13:28 Wolfycz 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏