[BZOJ2142]礼物
Description
一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。
Input
输入的第一行包含一个正整数P，表示模；
第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；
以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。
Output
若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。
Sample Input
100
4 2
1
2
Sample Output
12
HINT
对于100%的数据，\(1\leqslant n\leqslant 10^9,1\leqslant m\leqslant 5,1\leqslant p_i^{c_i}\leqslant 10^5\)
直接for循环？……没错，答案就为
\[Ans=\sum\limits_{i=1}^m\binom{n-\sum\limits_{j=1}^{i-1}w_j}{w_i}
\]
难点在于Ex_Lucas吧……
/*program from Wolfycz*/
#include<map>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
#define Fi first
#define Se second
#define MK std::make_pair
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned int ui;
typedef std::map<int,int> mii;
typedef unsigned long long ull;
typedef std::pair<int,int> pii;
inline char gc(){
static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
template<typename T>inline T frd(T x){
int f=1; char ch=gc();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
return x*f;
}
template<typename T>inline T read(T x){
int f=1;char ch=getchar();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
return x*f;
}
inline void print(int x){
if (x<0) putchar('-'),x=-x;
if (x>9) print(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
template<typename T>inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T>inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
template<typename T>inline T swap(T &x,T &y){T t=x; x=y,y=t;}
namespace Math{
mii f[10];
int P[10],C[10],V[10],tot,SP;
void prepare(int p){
SP=p;
for (int i=2;i*i<=p;i++){
if (p%i) continue;
P[++tot]=i,V[tot]=1;
while (p%i==0) p/=i,V[tot]*=i,C[tot]++;
f[tot].insert(mii::value_type(0,1));
for (int j=1;j<=V[tot];j++) f[tot].insert(mii::value_type(j,1ll*f[tot].find(j-1)->Se*(j%i?j:1)%V[tot]));
}
if (p!=1){
f[++tot].insert(mii::value_type(0,1));
P[tot]=V[tot]=p,C[tot]=1;
for (int j=1;j<=V[tot];j++) f[tot].insert(mii::value_type(j,1ll*f[tot].find(j-1)->Se*(j%p?j:1)%V[tot]));
}
}
int mlt(int a,int b,int p){
int res=1;
for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%p) if (b&1) res=1ll*res*a%p;
return res;
}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if (!b){x=1,y=0;return;}
exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x; x=y,y=t-a/b*y;
}
int Ex_GCD(int a,int b,int c){
int d=gcd(a,b),x,y;
if (c%d) return -1;
a/=d,b/=d,c/=d;
exgcd(a,b,x,y);
x=(1ll*x*c%b+b)%b;
return x;
}
pii work(int n,int i){
if (n<=1) return MK(1,0);
int res=1ll*mlt(f[i].find(V[i])->Se,n/V[i],V[i])*f[i].find(n%V[i])->Se%V[i],cnt;
pii tmp=work(cnt=n/P[i],i);
return MK(1ll*res*tmp.Fi%V[i],tmp.Se+cnt);
}
int calc(int n,int m,int i){
pii tmp; int res=1,cnt=0;
tmp=work(n,i); cnt+=tmp.Se;
res=1ll*res*tmp.Fi%V[i];
tmp=work(m,i); cnt-=tmp.Se;
res=1ll*res*Ex_GCD(tmp.Fi,V[i],1)%V[i];
tmp=work(n-m,i); cnt-=tmp.Se;
res=1ll*res*Ex_GCD(tmp.Fi,V[i],1)%V[i];
return cnt<C[i]?1ll*res*mlt(P[i],cnt,V[i])%V[i]:0;
}
int Ex_C(int n,int m){
if (n<m) return -1;
if (tot==1) return Ex_GCD(1,V[1],calc(n,m,1));
int Ans=0;
for (int i=1;i<=tot;i++) Ans=(Ans+1ll*Ex_GCD(SP/V[i],V[i],1)*(SP/V[i])%SP*calc(n,m,i)%SP)%SP;
return Ans;
}
}
using namespace Math;
int main(){
int p=read(0),n=read(0),m=read(0),Ans=1;
prepare(p); int sum=0;
for (int i=1;i<=m;i++){
int x=read(0),res=Ex_C(n-sum,x);
if (!~res){
printf("Impossible\n");
return 0;
}
Ans=1ll*Ans*res%p,sum+=x;
}
printf("%d\n",Ans);
return 0;
}
