[SDOI2017]数字表格
Description
Doris刚刚学习了fibonacci数列。用f[i]表示数列的第i项，那么
\[f(x)=\begin{cases}0&,x=0\nonumber\\1&,x=1\nonumber\\f(x-1)+f(x-2)&,x\geqslant2\nonumber\end{cases}
\]
Doris用老师的超级计算机生成了一个n×m的表格，第i行第j列的格子中的数是f[gcd(i,j)]，其中gcd(i,j)表示i,j的最大公约数。Doris的表格中共有n×m个数，她想知道这些数的乘积是多少。答案对10^9+7取模。
Input
有多组测试数据。
第一个一个数T，表示数据组数。
接下来T行，每行两个数n,m
T<=1000,1<=n,m<=10^6
Output
输出T行，第i行的数是第i组数据的结果
Sample Input
3
2 3
4 5
6 7
Sample Output
1
6
960
原式要求
\[\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^mf(\gcd(i,j))
\]
然后我们喜闻乐见一下
\[\prod\limits_{d=1}^nf(d)^{\sum\limits_{i=1}^{\lfloor n/d\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor m/d\rfloor}[\gcd(i,j)=d]}\\\prod\limits_{d=1}^nf(d)^{\sum\limits_{x=1}^{\lfloor n/d\rfloor}\mu(x)\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor\lfloor\frac{m}{dx}\rfloor}
\]
我们令\(T=dx\)，然后继续推
\[\prod\limits_{T=1}^n\prod\limits_{d|T}f(d)^{\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\mu(\frac{T}{d})}
\]
然后稍微分个组
\[\prod\limits_{T=1}^n(\prod\limits_{d|T}f(d)^{\mu(\frac{T}{d})})^{\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor}
\]
然后外面显然可以分块了，里面嘞？又不能线筛。。。
不能线筛就暴力算啊喂，范围才\(10^6\)，复杂度大概为\(O(n\ln n)\)的样子
然后暴力算出里面那玩意的前缀和，然后分块就好了
/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline char gc(){
static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int frd(){
int x=0,f=1; char ch=gc();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
return x*f;
}
inline int read(){
int x=0,f=1; char ch=getchar();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
return x*f;
}
inline void print(int x){
if (x<0) putchar('-'),x=-x;
if (x>9) print(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e6,p=1e9+7;
int prime[N+10],f[N+10],mu[N+10],g[N+10],sf[N+10];
bool inprime[N+10];
int mlt(int a,int b){
int res=1;
for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%p) if (b&1) res=1ll*res*a%p;
return res;
}
void prepare(){
int tot=0;
f[1]=mu[1]=g[1]=sf[0]=sf[1]=1;
for (int i=2;i<=N;i++){
if (!inprime[i]) mu[prime[++tot]=i]=-1;
for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=N;j++){
inprime[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0) break;
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
f[i]=(f[i-2]+f[i-1])%p;
g[i]=mlt(f[i],p-2),sf[i]=1;
}
for (int i=1;i<=N;i++){
if (!mu[i]) continue;
for (int j=i;j<=N;j+=i)
sf[j]=1ll*sf[j]*(mu[i]==1?f[j/i]:g[j/i])%p;
}
for (int i=1;i<=N;i++) sf[i]=1ll*sf[i-1]*sf[i]%p;
}
int main(){
prepare();
for (int T=read();T;T--){
int n=read(),m=read(),Ans=1;
if (n>m) swap(n,m);
for (int i=1,pos;i<=n;i=pos+1){
pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
int res=1ll*sf[pos]*mlt(sf[i-1],p-2)%p;
Ans=1ll*Ans*mlt(res,1ll*(n/i)*(m/i)%(p-1))%p;
}
printf("%d\n",Ans);
}
return 0;
}
