向量投影

\(v_\parallel\)与\(n\)平行，\(v_\perp\)与\(n\)垂直，\(v\)可表示为\(v=v_\parallel+v_\perp\)
由图中可得
\(v_\parallel=\lVert v_\parallel\rVert\frac{n}{\lVert n\rVert}\) （1）
\(\cos\theta=\frac{\lVert v_\parallel\rVert}{\lVert v\rVert}\)，即\(\lVert v_\parallel\rVert=\cos\theta\lVert v\rVert\) （2）
将（2）带入（1），可得
\(v_\parallel=\cos\theta\lVert v\rVert\frac{n}{\lVert n\rVert}\) (3)
由点积的性质可知，\(v\cdot n=\lVert v\rVert\lVert n\rVert\cos\theta\)
由（3）乘以\(\frac{\lVert n\rVert}{\lVert n\rVert}\)可得投影公式
\(v_\parallel=v\cdot n\frac{n}{\lVert n\rVert^2}(也即v\cdot n\frac{n}{n\cdot n})\)
即可求出\(v_\perp\)
\(\begin{align} v_\perp&=v-v_\parallel\\ &=v-v\cdot n\frac{n}{\lVert n\rVert^2} \end{align}\)
由三角函数公式可得投影长度=\(\cos\theta\lVert v\rVert\)，若\(v\)为单位向量，则投影长度为\(\cos(\theta)\)，若\(n\)为单位向量，投影长度为\(n\cdot v\)