FZOJ 4344 连通性

称前 \(n-m\) 个点为黑点，后面 \(m\) 个点为白点。题意就是不能有任意两个点，满足他们之间的每条路径上都有白点（除这两个端点）。

发现如果有些白点与黑点之前不连边，那么这些白点之间必然是一些团。方案数就是第二类斯特林数，这些白点我们先不管。

记 \(g_i\) 表示 \(i\) 个点的连通图的方案数，根据简单容斥得（下面减一的意思是固定 \(1\) 号点在第一个连通块）：

\[g[i]=2^{\frac{i\times (i-1)}2}-\sum\limits_{j=1}^{i-1}g[j]\times\binom{i-1}{j-1}\times 2^{\frac{(i-j)(i-j-1)}{2}} \]

与黑点相连的这些白点，他们必然只能连向某一个黑点的连通块，记 \(ans[i][j]\) 表示 \(i\) 个黑点 \(j\) 个白点组成的连通块的方案数（不包括那些团）。

\[ans[i+k][j+l]+=ans[i][j]\times \binom {i+k-1}{k-1}\times \binom{j+l}{j}\times h[i][j] \]

其中 \(h[i][j]=g[i]\times 2^{\frac{j\times(j-1)}2}\times (2^i-1)^j\)。

那么记 \(Ans[i][j]\) 表示 \(i\) 个黑点，\(j\) 个白点，这些白点中包括那些团的方案数。合并一下就好。

\[Ans[i][j+k]+=ans[i][j]\times \binom{j+k}{k}\times S_2[k][0] \]

其中 \(S_2[][0]\) 表示第二类斯特林数一行的和。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define int long long

using namespace std;

const int N=109,M=1000000007;
int fac[N],inv_fac[N],h[N][N],ans[N][N],Ans[N][N],g[N],S2[N][N];

int ksm(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=res*a%M;
		b>>=1,a=a*a%M;
	}
	return res;
}

int binom(int n,int m)
{
	if(n<m) return 0;
	return fac[n]*inv_fac[n-m]%M*inv_fac[m]%M;
}

void init()
{
	fac[0]=1;
	for (int i=1;i<=100;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%M;
	inv_fac[100]=ksm(fac[100],M-2);
	for (int i=99;i>=0;i--)
		inv_fac[i]=inv_fac[i+1]*(i+1)%M;
	g[0]=0;
	for (int i=1;i<=100;i++)
	{
		g[i]=ksm(2,i*(i-1)/2);
		for (int j=1;j<i;j++)
			g[i]=(g[i]-g[j]*ksm(2,(i-j)*(i-j-1)/2)%M*binom(i-1,j-1)%M)%M;
	}
	for (int i=0;i<=100;i++)
		for (int j=0;j<=100;j++)
			h[i][j]=g[i]*ksm(2,(j==1?0:(j-1)*j/2))%M*ksm((ksm(2,i)-1),j)%M;
	S2[0][0]=1;
	for (int i=1;i<=100;i++)
		for (int j=1;j<=i;j++)
			S2[i][j]=(S2[i-1][j-1]+j*S2[i-1][j]%M)%M;
	for (int i=1;i<=100;i++)
		for (int j=1;j<=i;j++)
			S2[i][0]=(S2[i][0]+S2[i][j])%M;
}

void work()
{
	ans[0][0]=1;
	for (int n=0;n<=100;n++)
		for (int m=0;m<=100;m++)
			for (int i=1;i+n<=100;i++)
				for (int j=0;j+m<=100;j++)
					ans[n+i][m+j]=(ans[n+i][m+j]+binom(n+i-1,i-1)*binom(m+j,j)%M*h[i][j]%M*ans[n][m]%M)%M;
	for (int n=0;n<=100;n++)
		for (int m=0;m<=100;m++)
			for (int i=0;i+m<=100;i++)
				Ans[n][m+i]=(Ans[n][m+i]+binom(m+i,i)*ans[n][m]%M*S2[i][0]%M)%M;
	int T,x,y;
	scanf("%lld",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld %lld",&x,&y);
		printf("%lld\n",(Ans[x-y][y]+M)%M);
	}
}

signed main()
{
	init();
	work();
	return 0;
}