数学期望

树上随机游走

给定一棵树，边有边权，有一个动点在树上等概率向相邻点移动，求：

• 一个点到父亲的期望距离

  设 \(f[x]\) 表示 \(x\) 到父亲的期望距离，那么

  \[f[x]=\frac{w(x,fa)+\sum\limits_{\text{v is son of x}}f[x]+f[v]+w(x,v)}{deg[x]} \]

  因为一个点要么直接走到父亲，要么走到自己的一个儿子然后走回自己最后再走到父亲，根据期望的定义很容易得到上述式子（其中 \(w(u,v)\) 表示 \(u\) 到 \(v\) 这条边的长度，\(deg[x]\) 表示 \(x\) 的度数）。化简一下得到：

  \[f[x]=w(x,fa)+\sum\limits_{\text{v is son of x}}f[v]+w(x,v) \]

• 一个点的父亲到它的期望距离

  设 \(g[x]\) 表示父亲到 \(x\) 的期望距离，同理：

  \[g[x]=\frac{(w(fa,gf)+g[gf]+g[x])+w(x,fa)+\sum\limits_{\text{v is son of fa & v!=x}}f[v]+w(v,fa)+g[x]}{deg[fa]} \]

  和上面一样，父亲要么走到父亲的父亲然后回来，要么走到除了 \(x\) 以外的儿子然后回来，要么直接走到 \(x\)（其中 \(gf\) 表示 \(x\) 的父亲的父亲）。化简：

  \[g[x]=w(fa,gf)+w(x,fa)+g[gf] +\sum\limits_{\text{v is son of fa & v!=x} }f[v]+w(v,fa) \]

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• 综合例题：

1. UVA10529 Dumb Bones 题解