[数据结构]RMQ问题小结

RMQ问题小结

　　by Wine93 2014.1.14

 

1.算法简介

RMQ问题可分成以下2种

(1)静态RMQ:ST算法

一旦给定序列确定后就不在更新,只查询区间最大(小)值!这类问题可以用倍增的ST算法进行预处理

预处理:O(nlogn)

查询:O(1)

(2)动态RMQ:线段树

要更新一些值,还有询问

更新:O(logn)

查询:O(logn)

 

2.相关题目

(1)静态RMQ

1.POJ 3264 Balanced Lineup(一维静态RMQ模板题) http://poj.org/problem?id=3264

题意:给定n(n<=50000)个数字,每次询问[l,r]内的最大值和最小值差

分析:裸的一维RMQ,用ST预处理!

# include<cstdio>
# include<cstring>
# include<algorithm>
using namespace std;

# define N 50005

int log2[N];
int a[N],f[N][20],g[N][20];

//f:max g:min
void initRMQ(int a[],int n)
{
    int i,j;
    log2[1]=0;
    for(i=2;i<N;i++)
        log2[i]=log2[i-1]+!(i&(i-1));
    for(i=1;i<=n;i++)
        f[i][0]=g[i][0]=a[i];
    for(j=1;(1<<j)<=n;j++)
        for(i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
        {
            f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);
            g[i][j]=min(g[i][j-1],g[i+(1<<j-1)][j-1]);
        }
}

int getmax(int l,int r)
{
    int k=log2[r-l+1];
    return max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
}

int getmin(int l,int r)
{
    int k=log2[r-l+1];
    return min(g[l][k],g[r-(1<<k)+1][k]);
}

int main()
{
    int i,n,m,x,y;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        initRMQ(a,n);
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            printf("%d\n",getmax(x,y)-getmin(x,y));
        }
    }
    return 0;
}

2.HDU 2888 Check Corners(二维静态RMQ模板题) http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2888

题意:给定一个n*m (1<=m,n<=300)的矩阵!每次询问(r1，c1)为左上角,(r2,c2)为右下角的子矩形的最大值。

分析:裸的二维RMQ,用ST预处理即可!

# include<cstdio>
# include<cstring>
# include<algorithm>
using namespace std;

# define N 302
# define M 9
int dp[N][N][M][M];
int log2[N];
int a[N][N],n,m,q;

void initRMQ()
{
    int i,j,k,l;
    for(k=0;(1<<k)<=n&&k<=8;k++)
        for(l=0;(1<<l)<=m&&l<=8;l++)
            for(i=1;i+(1<<k)-1<=n;i++)
                for(j=1;j+(1<<l)-1<=m;j++)
                {
                    if(k==0&&l==0) dp[i][j][k][l]=a[i][j];
                    else if(k==0) dp[i][j][k][l]=max(dp[i][j][k][l-1],dp[i][j+(1<<l-1)][k][l-1]);
                    else if(l==0) dp[i][j][k][l]=max(dp[i][j][k-1][l],dp[i+(1<<k-1)][j][k-1][l]);
                    else
                    {
                        int a=max(dp[i][j][k-1][l-1],dp[i][j+(1<<l-1)][k-1][l-1]);
                        int b=max(dp[i+(1<<k-1)][j][k-1][l-1],dp[i+(1<<k-1)][j+(1<<l-1)][k-1][l-1]);
                        dp[i][j][k][l]=max(a,b);
                    }
                }
}

int getmax(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    int k=log2[x2-x1+1];
    int l=log2[y2-y1+1];
    int a=max(dp[x1][y1][k][l],dp[x2-(1<<k)+1][y1][k][l]);
    int b=max(dp[x1][y2-(1<<l)+1][k][l],dp[x2-(1<<k)+1][y2-(1<<l)+1][k][l]);
    return max(a,b);
}

int main()
{
    int i,j,x1,y1,x2,y2;
    log2[1]=0;
    for(i=2;i<N;i++)
        log2[i]=log2[i-1]+!((i-1)&i);
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=m;j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        initRMQ();
        scanf("%d",&q);
        while(q--)
        {
            scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
            int ans=getmax(x1,y1,x2,y2);
            int res=max(max(a[x1][y1],a[x1][y2]),max(a[x2][y1],a[x2][y2]));
            printf("%d ",ans);
            if(res==ans) printf("yes\n");
            else printf("no\n");
        }
    }
    return 0;
}

3.LightOJ 1081 Square Queries(二维静态RMQ降维)  http://www.lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1081

题意:给定一个n*n(n<=500)的矩阵!每次询问以(x,y)为左上角,边长为l的正方形区域内的最大值

分析:如果用一般的二维RMQ预处理,时间复杂度为n*n*logn*logn(约2000万),会超时!因为查询区域为正方形,我们只要每次都存储正方形就行了!

Max[i][j][k]:以(i,j)为左上角,边长为2^k区域内的最大值,每次倍增把大正方形拆成4个小正方形即可!

# include<map>
# include<set>
# include<cmath>
# include<queue>
# include<stack>
# include<vector>
# include<string>
# include<cstdio>
# include<cstring>
# include<iostream>
# include<algorithm>
# include<functional>
using namespace std;

typedef pair<int,int> PII;
# define MOD 1000000007
# define LL long long
# define pb push_back
# define F first
# define S second
# define N 505
# define M 10
int Max[N][N][M],Log2[N];
int a[N][N];

void initLog()  //初始化Log2数组
{
    int i;
    Log2[0]=-1;
    for(i=1;i<N;i++)
        Log2[i]=Log2[i-1]+!(i&i-1);
}

void initRMQ(int n)
{
    int i,j,k,lu,ld,ru,rd;
    for(k=0;(1<<k)<=n;k++)
        for(i=1;i+(1<<k)-1<=n;i++)
            for(j=1;j+(1<<k)-1<=n;j++)
            {
                if(k==0) Max[i][j][k]=a[i][j];
                else
                {
                    lu=Max[i][j][k-1];   //左上角 
                    ld=Max[i+(1<<k-1)][j][k-1];  //左下角
                    ru=Max[i][j+(1<<k-1)][k-1];  //右上角
                    rd=Max[i+(1<<k-1)][j+(1<<k-1)][k-1];  //右下角
                    Max[i][j][k]=max(max(lu,ld),max(ru,rd));
                }
            }
}

int Query(int x,int y,int l)
{
    if(l==1) return a[x][y]; //注意 
    int k=Log2[l];
    int lu=Max[x][y][k];
    int ld=Max[x+l-(1<<k)][y][k];
    int ru=Max[x][y+l-(1<<k)][k];
    int rd=Max[x+l-(1<<k)][y+l-(1<<k)][k];
    return max(max(lu,ld),max(ru,rd));
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    initLog();
    int cas,T,i,j,n,m,x,y,l;
    scanf("%d",&T);
    for(cas=1;cas<=T;cas++)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        initRMQ(n);
        printf("Case %d:\n",cas);
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&l);
            printf("%d\n",Query(x,y,l));
        }
    }
    return 0;
}

4.POJ 3368 Frequent values

题意:给定n(n<=100000)个数,每次询问一个区间内重复数字的最大次数

5.POJ 2452 Sticks Problem 

6.HDU 3486 Interviewe

 

(2)动态RMQ

1.HDU 1754 I Hate It (一维动态RMQ模板题)

2.Uva 11297 Census(二维动态RMQ模板题)

3.HDU 4819 Mosaic (13年长春现场)

4.NBU 2475 Survivors 
5.BUAA 724 晴天小猪的神题