深入浅出通信原理连载1-21（Python代码版）

深入浅出通信原理Python代码版

深入浅出通信原理是陈爱军的心血之作，于通信人家园连载，此处仅作python代码笔记训练所用
陈老师的连载从多项式乘法讲起，一步一步引出卷积、傅立叶级数展开、旋转向量、三维频谱、IQ调制、数字调制等一系列通信原理知识

目录

• 深入浅出通信原理Python代码版
  • 连载1：从多项式乘法说起
  • 连载2：卷积的表达式
  • 连载3: Python计算卷积
  • 连载4：将信号表示成多项式的形式
  • 连载5：欧拉公式证明
  • 理解复数
  • 连载6：利用卷积计算两个信号的乘积
  • 连载7： 信号进行傅里叶级数展开
  • 连载8：时域信号相乘相当于频域卷积
  • 连载9：用余弦信号合成方波信号
  • 连载12：正弦信号及余弦信号频谱图
  • 余正弦信号的三维频谱图
  • 李萨育图形
  • 实信号和复信号的波形对比

连载1：从多项式乘法说起

\[(x+1)(x^2+2x+5)=x^3+3x^2+7x+5 \]

import sympy
x = sympy.Symbol('x')
sympy.expand((x+1)*(x*x+2*x+5))

这种计算方法总结起来就是：
反褶：一般多项式都是按x的降幂排列，这里将其中一个多项式的各项按x的升幂排列。
平移：将按x的升幂排列的多项式每次向右平移一个项。
相乘：垂直对齐的项分别相乘。
求和：相乘的各结果相加。

反褶、平移、相乘、求和－这就是通信原理中最常用的一个概念“卷积”的计算过程。

连载2：卷积的表达式

将多项式转换成矩阵形式

\[x+1 -> [1,1]\\ x^2+2x+5 -> [1,2,5]\\ x^3+3x^2+7x+5=[1,1]*[1,2,5]=[1,3,7,5]\\ 其中卷积（*）的运算如下：\\ c(n)=a(n)*b(n)=\sum_{k=0}^n{a（k)b(n-k)},n=0~(n1+n2)\\ 其中n1是a(n)的系数总个数，n2是b(n)的系数总个数 \]

连载3: Python计算卷积

import numpy as np
np.convolve([1,1],[1,2,5]) #上例,result:[1, 3, 7, 5]
# 杨辉三角，输入行数，输出对应行的值
def pascal_triangle(n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return [1,1]
    else:
        return np.convolve([1,1],pascal_triangle(n-1))
# test code    
for i in range(0,7):
    print(pascal_triangle(i))
    
    
# 杨辉三角，迭代器形式
def triangles():
  nlist=[1]
  while True:
    yield nlist
    nlist.append(0)
    nlist = [nlist[i] + nlist[i-1] for i in range(len(nlist))]
# test code
tr = triangles()
for i in range(0,7):
    print(next(tr))

连载4：将信号表示成多项式的形式

\[Fourier Transform:signal(x) = x_nx^n+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0\\ x^n=f(nw_0)\\ x = cosw_0t+jsinw_0t = e^{jw_0t} = f(w_0)\\ x^2 = (cosw_0t+jsinw_0t)^2 = cos^2w_0t-sin^2w_0t+j2sinw_0tcosw_0t=f(2w_0) \]

连载5：欧拉公式证明

\[欧拉公式:cosw_0t+jsinw_0t=e^{jw_0t} \]

import sympy
x = sympy.Symbol('x')
sympy.series(sympy.exp(sympy.I*x), x, 0, 10) #series perform Taylor expansion
sympy.expand(series(sin(x), x, 0, 10))
sympy.expand(series(cos(x), x, 0, 10))

利用泰勒展开，从输出结果易看出欧拉公式成立

理解复数

引自[连载23,利用欧拉公式理解复数)

连载6：利用卷积计算两个信号的乘积

若两个信号均表示成多项式形式，则可通过卷积计算信号相乘结果。

连载7： 信号进行傅里叶级数展开

周期T的函数f(t)展开成傅里叶级数(直流分量、余弦分量，正选分量多项式之和)：

\[f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}a_kcoskw_0t+b_ksinkw_0t\\ w=\frac{2\pi}{T}\\ a_k=\frac{2}{T}\int_{-2/T}^{2/T}f(t)cosk\omega_0tdt(k=0,1,2,3\cdots)\\ b_k=\frac{2}{T}\int_{-2/T}^{2/T}f(t)sink\omega_0tdt(k=1,2,3\cdots) \]

展开成复指数信号之和：

\[f(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}c_ke^{jkw_0t}\\ c_k= \begin{cases} \frac{a_0}{2} &,& k=0 \\ \frac{1}{2}(a_k-jb_k) & , & k=1,2,\cdots \\ \frac{1}{2}(a_{-k}+jb_{-k}) & , & k=-1,-2,\cdots \end{cases} \]

Ref: 书写多行大括号

ck是复傅里叶系数

以角频率w为横轴，傅里叶系数ck为纵轴，画出频谱图

# Further improvement:https://blog.csdn.net/u012915522/article/details/91506120
import matplotlib.pyplot as plt
plt.subplot(3,1,1)
plt.stem([0,1,2,3],[6,5,1,0],use_line_collection=True)
plt.yticks([0,1,5,6])
# plt.axis('off')
plt.xticks([0,1,2,3],('0','w','2w','3w'))
plt.subplot(3,1,2)
plt.stem([0,1,2,3],[2,3,0,0],use_line_collection=True)
plt.xticks([0,1,2,3],('0','w','2w','3w'))
plt.yticks([0,1,2,3])
plt.subplot(3,1,3)
plt.stem([0,1,2,3],[12,28,17,3],use_line_collection=True)
plt.xticks([0,1,2,3],('0',r'$\omega$w','2w','3w'))
plt.yticks([3,17,12,28])
# plt.axis('off')
plt.tight_layout()
plt.show()

连载8：时域信号相乘相当于频域卷积

由连载6显然如此

时域	FFT	频域
f(t)	\(f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f[n]^{jkw_0t}\)	f[n]
g(t)	$$g(t)=\sum_{n=-\infty}{+\infty}g[n]$$	g[n]
y(t)=f(t)g(t)	\(y(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}y[n]^{jkw_0t}\)	y[n]=f[n]*g[n]

连载9：用余弦信号合成方波信号

plt.suptitle('逐步合成方波', fontproperties='stsong')
plt.subplot(3,1,1)
x = np.arange(0,20,0.1)
y1 = 0.5+0.637*np.cos(x)
plt.plot(x,y1)
plt.title(r'$y_1(x)=0.5+0.637*cos(x)$',fontsize=10)
plt.subplot(3,1,2)
y2 = 0.5+0.637*np.cos(x)-0.212*np.cos(3*x)
plt.plot(x,y2)
plt.title(r'$y_2(x)=0.5+0.637*cos(x)-0.212cos(3x)$',fontsize=10)
plt.subplot(3,1,3)
y3 = 0.5+0.637*np.cos(x)-0.212*np.cos(3*x)+0.127*np.cos(5*x)
plt.plot(x,y3)
plt.title(r'$y_3(x)=0.5+0.637*cos(x))-0.212cos(3x)+0.127cos(5x)$',fontsize=10)
plt.tight_layout()
plt.show()

连载12：正弦信号及余弦信号频谱图

绘制正弦及余弦信号的频谱图

# sin(w0t) & cos(w0t) spectrum
fig = plt.figure('Sine & Cosine Wave', (10,8))
ax = axisartist.Subplot(fig, 2,2,1)
# plt.subplot(4,1,1)
fig.add_axes(ax)
# ax.axis[:].set_visible(False) # 隐藏默认坐标轴
# ax.axis["x"] = ax.new_floating_axis(0, 0)
# ax.axis["y"] = ax.new_floating_axis(1, 0)# 新建坐标轴X-Y
# ax.axis["x"].set_axis_direction('top')
# ax.axis["y"].set_axis_direction('left')# 设置刻度标识方向
# ax.axis["x"].set_axisline_style("->", size = 20.0)
ax.axis["bottom"].set_axisline_style("-|>", size = 1.5)
ax.axis["left"].set_axisline_style("->", size = 1.5)
ax.axis["top"].set_visible(False)
ax.axis["right"].set_visible(False)
# ax.axis["y"].set_axisline_style("->", size = 20.0)#加上坐标轴箭头
ax.stem([-1,1],[0.5,0.5],use_line_collection=True)
ax.set_title('y = cos($\omega_0t$),$c_{-1}=1/2,c_1=1/2$',fontsize = 15, pad = 20)
ax.set_xticks([-1,0,1])
ax.set_xticklabels([r'$-\omega$','0',r'$\omega$'])
ax.set_xlabel('Angular frequency')
ax.set_yticks([0.5])
ax.set_ylabel('magnitude')

ax2 = axisartist.Subplot(fig, 2,2,3)
fig.add_axes(ax2)
ax2.axis["left"].set_axisline_style("->", size = 1.5)
ax2.axis["top"].set_visible(False)
ax2.axis["right"].set_visible(False)
ax2.stem([-1,1],[0,0],use_line_collection=True)
ax2.set_xticks([-1,0,1])
ax2.set_xticklabels([r'$-\omega$','0',r'$\omega$'])
ax2.set_xlabel('Angular frequency')
ax2.set_yticks([0])
ax2.set_ylabel('phase')
fig.subplots_adjust(hspace=10)

ax3 = axisartist.Subplot(fig, 2,2,2)
fig.add_axes(ax3)
ax3.axis["left"].set_axisline_style("->", size = 1.5)
ax3.axis["top"].set_visible(False)
ax3.axis["right"].set_visible(False)
ax3.stem([-1,1],[0.5,0.5],use_line_collection=True)
ax3.set_title('y = sin($\omega_0t$),$ c_{-1}=j/2,c_1=-j/2 $,fontsize = 15, pad = 20)
ax3.set_xticks([-1,0,1])
ax3.set_xticklabels([r'$-\omega$','0',r'$\omega$'])
ax3.set_xlabel('Angular frequency')
ax3.set_yticks([0.5])
ax3.set_ylabel('magnitude')

ax4 = axisartist.Subplot(fig, 2,2,4)
fig.add_axes(ax4)
ax4.axis["left"].set_axisline_style("->", size = 1.5)
ax4.axis["top"].set_visible(False)
ax4.axis["right"].set_visible(False)
ax4.stem([-1,1],[1.5708,-1.5708],use_line_collection=True)
ax4.set_xticks([-1,0,1])
ax4.set_xticklabels([r'$-\omega$','0',r'$\omega$'])
ax4.set_xlabel('Angular frequency')
ax4.set_yticks([np.pi/2,0,-np.pi/2])
ax4.set_yticklabels([r'$\pi/2$','0',r'$-\pi/$'])
ax4.set_ylabel('phase')
plt.tight_layout()
plt.show()

由该图可看出，实信号的频谱是共轭对称的，及\(c_k&c_{-k}\)是互为共轭：模相等，相位相反。

而且出现负频率

余正弦信号的三维频谱图

这个太难，以我的浅薄知识，用Python绘制不出来，故从陈老师处直接盗图，但是可以从正弦信号三维频谱看出即使复傅里叶系数是虚数，其原始信号仍有可能是实数

通过复傅立叶级数展开将实信号分解为了一系列的旋转向量之和（由此引出了复数，使得实信号的表达式中出现了复数），但由于逆时针和顺时针旋转的向量成对出现，而且成对出现的旋转向量的初始相位关于实轴对称，旋转的角速度相同，旋转方向相反，所以这些旋转向量合成的结果最终还是一个实信号（只在实轴上有分量，虚轴上的分量相互抵消掉了）。

李萨育图形

使用互相成谐波频率关系的两个信号分别作为X和Y偏转信号送入示波器时，这两个信号分别在X轴、Y轴方向同时作用于电子束而描绘出稳定的图形，这些稳定的图形就叫“李萨育图形”

Lissajous curve, 用来展示两个相互垂直的简谐振动的合成。

公式：

\[\left\{ \begin{aligned} x(\theta) & = a\cos(\theta) \\ y(\theta) & = b\sin(n\theta+\phi) \\ \end{aligned} \right. \]

def lissajous(q,fignum):
    theta = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01)
    x = np.cos(theta)
    y = np.sin(q*theta)

    plt.subplot(1,fignum,q)
    plt.axis('off')
    plt.plot(x,y)
    return

plt.figure(figsize=(10,2)) 

fignum=5
for i in range(fignum):
    lissajous(i+1,fignum)

实信号和复信号的波形对比

直接采用陈老师的三维频谱图：

在下面两张图中：x轴（实轴）、y轴（虚轴）所在的平面是复平面，t轴（时间轴）垂直于复平面。
上图为实信号f(t)=cos(2πt)的波形图。
下图为复信号f(t)=cos(2πt)+jsin(2πt)的波形图。
对比这两张图，很容易得出：实信号在复平面上投影时只有实轴方向有分量，而复信号在复平面上投影时实轴和虚轴方向都有分量。

最后说一句，由于博客部分图片显示不出，特贴上个人备份GitHub地址