DirectX11笔记8：关于投影空间转换的推导

 

这一笔记记录了如何从  世界坐标————>相机相对坐标     的转换简单推导公式

 

以下所有的推导都在2阶的情况下，三阶相同，自行推导。

 

1.坐标系变化（对应书中3.4.1内容）

 

已知坐标系A为 X轴(1,0) Y轴(1.0)  ; 坐标系B为 X轴(-1，0) Y轴(0,1)

问  在A坐标系中的p点（1，1） 在B坐标系中的坐标？

 

我们知道，向量的点乘是一个向量在另一个向量上的投影，在坐标单位级别相同的时候，只需要获得B相对于A的坐标。

这里可以直接看出来，算出P的坐标：

P（B） = （P（A）·（-1，0）  ， P（A） · （1，0） ） = （-1 ， 1）

由此可以理解一般情况下，同原点时，坐标系变幻下的坐标变换。

三阶向量同二阶向量。

 

2.二阶投影变幻推导

 

现在我们有了坐标系变化的公式，还有一个变量要添加：坐标系B的初始位置。

第一部分的推导建立在同原点情况下，当坐标系B的原点改变，需要加上原点变换。

 

由此我们获得了完整公式：

P(B) = (  (P(A) - P(B)) ·P(B)X相对坐标 ,     (P(A) - P(B)) ·P(B)Y相对坐标   )

 

3.对应矩阵推导。

X =  (P(A) - P(B)) ·P(B)X相对坐标  = P(A) ·P(B)X相对坐标 -  P(B)·P(B)X相对坐标

这里令 P(A) = (X, Y)   ： 原点坐标       P(B) = Cx，Cy   ：相机坐标    P(B)X相对坐标 = （Ux，Uy）

同理.

Y = (P(A) - P(B)) ·P(B)Y相对坐标     中  P(B)Y相对坐标 = （Vx，Vy）

 

将相应带入得到：

P*(X, Y) = (X * UX +Y*UY + CX*UX + CY*UY  ,   X*VX + X * VY +CX*VX + CY*VY)

 

建立矩阵：

 

1. {1，0，0}  {UX,      VX,           0}
2. {0，1，0} *{UY,      VY,           0}
3. {X，Y，1}  {(Cx,Cy)*(UX,UY),(Cx,Cy)*(VX,VY),1}

 

这里我的推导方式与书中完全不一样，我完全无法看懂书中的推导方式。。。还要求逆。

这里所有的推导都是二阶的，其实与三阶完全一样，变一下而已。