时间序列分析 2.X 单位根检验
单位根检验 (基于模型检验序列是否平稳)
趋势平稳序列
\(X_{t}=\beta_{0}+\beta_{1} t+Y_{t}\)
\(Y_t\) 为平稳序列, 则称 \(X_t\) 为趋势平稳序列
差分平稳序列
如果 \(X_{t}\) 经差分之后的序列 \(\nabla^{d} X_{t}\) 是平稳的, 则称 \(X_{t}\) 为差分平稳序列; 差分平稳序列可以表示为
\[\phi(B)(1-B)^{d} X_{t}=\theta(B) Z_{t} \]
基于 \(AR(1)\) 的平稳检验
\(M_{trend}\)
检验序列是否趋势平稳, 等价于对
\[\begin{aligned}M_{\text {trend }}: \quad x_{t}&=\beta_{0}\left(1-\phi_{1}\right)+\beta_{1} \phi_{1}+\beta_{1}\left(1-\phi_{1}\right) t+\phi_{1} x_{t-1}+Z_{t}\\ &=\omega+\delta t+\phi_{1} x_{t-1}+Z_{t} \end{aligned}\]考虑假设检验问题
\[H_{0}: \phi_{1}=1~(差分平稳) \leftrightarrow H_{1}: \phi_{1}<1~(趋势平稳) \]
\(M_{none}\)
检验序列是否随机漫步, 等价于对
\[M_{\text {none }}: \quad x_{t}=\phi_{1} x_{t-1}+Z_{t} \]考虑假设检验
\[H_{0}: \phi_{1}=1~(随机漫步) \leftrightarrow H_{1}: \phi_{1}<1~(平稳的 AR(1)) \]
\(M_{drift}\)
检验序列是否为带漂移项的随机漫步
\[M_{\text {drift }}: \quad x_{t}=\phi_{0}+\phi_{1} x_{t-1}+Z_{t} \]考虑假设检验
\[H_{0}: \phi_{1}=1~(带漂移项的随机漫步) \leftrightarrow H_{1}: \phi_{1}<1~(平稳的 AR(1)) \]
基于 \(AR(p)\) 的平稳检验
由于上述检验的检验统计量分布的问题, 所以对 \(M_{trend}\) \(M_{none}\) \(M_{drift}\) 分别同时两边减去 \(X_{t-1}\)
假设检验变为
\[H_{0}: \gamma=0~ \leftrightarrow H_{1}: \gamma<0 \]
检验统计量变为
\[\tau=\frac{\hat{\gamma}}{s \cdot e .(\hat{\gamma})} \]结论一一对应
\(M_{none}\) \((tau1)\)
\[\begin{aligned}M_{none}: x_{t}&=\phi_{1} x_{t-1}+\phi_{2} x_{t-2}+\cdots+\phi_{p} x_{t-p}+Z_{t} \end{aligned}\]
变形为
\[M_{\text {none }}: \quad \nabla x_{t}=\gamma x_{t-1}+\sum_{j=2}^{p} \beta_{j} \nabla x_{t-j+1}+Z_{t} \]
假设检验为
\[H_{0}: \gamma=0~(不带漂移项的单位根非平稳过程) \leftrightarrow H_{1}: \gamma<0~(中心化的 AR(p)) \]
检验统计量为
\[tau1=\frac{\hat{\gamma}}{s \cdot e .(\hat{\gamma})} \]
\(M_{drift}\)
\[x_{t}=\phi_{0}+\phi_{1} x_{t-1}+\phi_{2} x_{t-2}+\cdots+\phi_{p} x_{t-p}+Z_{t} \]变形为$$M_{\text {drift }}: \quad \nabla x_{t}=\phi_{0}+\gamma x_{t-1}+\sum_{j=2}^{p} \beta_{j} \nabla x_{t-j+1}+Z_{t}$$
\(tau2\)
假设检验为
\[H_{0}: \gamma=0~(带漂移项的单位根非平稳过程) \leftrightarrow H_{1}: \gamma<0~(未中心化的 AR(p)) \]
检验统计量为
\[tau2=\frac{\hat{\gamma}}{s \cdot e .(\hat{\gamma})} \]
\(phi1\)
假设检验为
\[H_{0}: \phi_0=\gamma=0~(不带漂移项的单位根非平稳过程) \leftrightarrow H_{1}: \]
检验统计量为
\[phi1 \]
\(M_{trend}\)
\[x_{t}=\phi_{0}+\delta t+\phi_{1} x_{t-1}+\phi_{2} x_{t-2}+\cdots+\phi_{p} x_{t-p}+Z_{t} \]
变形为 $$M_{\text {trend }}: \quad \nabla x_{t}=\phi_{0}+\delta t+\gamma x_{t-1}+\sum_{j=2}^{p} \beta_{j} \nabla x_{t-j+1}+Z_{t}$$
\(tau3\)
假设检验为
\[H_{0}: \gamma=0 \leftrightarrow H_{1}: \gamma<0 \]
检验统计量为
\[tau3 \]
\(phi2\)
假设检验为
\[H_{0}: \phi_0=\delta=\gamma=0 \leftrightarrow H_{1}: \]
检验统计量为
\[tau2 \]
\(phi3\)
假设检验为
\[H_{0}: \delta=\gamma=0 \leftrightarrow H_{1}: \]
检验统计量为
\[tau3 \]
