扩展欧拉定理

扩展欧拉定理

欧拉函数 \(\phi\)

设 \(\phi(x)\) 为 \([1, x]\) 范围内和 \(x\) 互质的数的数量.

对于质数 \(x\), 由于和 \([1, x - 1]\) 中任意数字互质, 所以有结论

\[\phi(x) = x - 1 \]

对于正整数 \(x\), \(p_i\) 表示第 \(i\) 个质数, 由正整数的唯一分解设

\[x = \prod_{i}^{p_i | x} p_i^{a_i} \]

由于被 \(p_i\) 整除的数有 \(x / p_i\) 个, 这些数一定不和 \(x\) 互质. 结合容斥原理, 对于所有的 \(p_i|x\), 和 \(x\) 互质的数有

\[\sum_{i}^{p_i|x} \frac{x}{p_i} - \sum_{i, j}^{p_ip_j|x} \frac{x}{p_ip_j} + \sum_{i, j, k}^{p_ip_jp_k|x} \frac{x}{p_ip_jp_k} - ... \]

提公因式:

\[x (\sum_{i}^{p_i|x} \frac1{p_i} - \sum_{i, j}^{p_ip_j|x} \frac1{p_ip_j} + \sum_{i, j, k}^{p_ip_jp_k|x} \frac1{p_ip_jp_k} - ...) \]

整理得

\[\phi(x) = x \prod_{i}^{p_i|x} (1 - \frac{1}{p_i}) \]

设 \(x = ab\), \(gcd(a, b) = 1\)

\[\phi(a) = a \prod_{i}^{p_i|a} (1 - \frac{1}{p_i})\\ \phi(b) = b \prod_{i}^{p_i|b} (1 - \frac{1}{p_i}) \]

把两式相乘

\[\phi(a)\phi(b) = ab \prod_{i}^{p_i|a} \prod_{i}^{p_i|b} \]

已知 \(p_i|a\) 和 \(p_i|b\) 不能同时满足, 又因为 \(x = ab\), 所以只要 \(p_i|b~or~p_i|a\), 当且仅当 \(p_i|x\), 上式变成

\[\phi(a)\phi(b) = x \prod_{i}^{p_i|x} = \phi(x) \]

因此得出结论, 对于 \(x = ab\), \(gcd(a, b) = 1\), 有

\[\phi(x) = \phi(a)\phi(b) \]

我们把 \(\phi(x)\) 这种性质称作 积性函数

欧拉定理

设正整数 \(a\), \(p\) 互质

则

\[a^{\phi(p)}~\%~p = 1 \]

由此可以推得费马小定理, 即对于正整数 \(a\) 和质数 \(p\), 有

\[a^{\phi(p)}~\%~p = a^{p - 1}~\%~p = 1 \]

这就是快速幂求乘法逆元的原理

扩展欧拉定理

前置知识

  • 引理一, 设正整数 \(x\), \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), ..., \(a_n\), 如果 \(x \equiv y (mod~a_i)\), 则有

\[x \equiv y (mod~lcm(a_i))\\ x \equiv y (mod~\prod_{i}a_i) \]

  • 引理二, 设质数 \(p\), 正整数 \(x > 1\), 则

\[\phi(p^x) = p^x (1 - \frac{1}{p}) = p^x - \frac{p^x}{p} = p^x - p^{x - 1} \geq x \]

证明

设正整数 \(q\), \(a\), \(x\), 质数 \(p\), 满足 \(x \geq \phi(p^q)\)

由于 \(p\) 是质数, 所以对于 \(gcd(a, p)\), 有两种情况, 即 \(1\) 或 \(p\).

  • 针对 \(gcd(a, p) = 1\) 的情况, 一定有 \(gcd(a^x, p^q) = 1\), 根据欧拉定理, \(a^{\phi(p^q)}~\%~p^q= 1\), 所以一定有

\[a^x~\%~p^q = a^{x~\%~\phi(p^q)}~\%~p^q = (a^{(x~\%~\phi(p^q)) + \phi(p^q)})~\%~p^q \]

  • 针对 \(gcd(a, p) = p\) 的情况, 由引理二得 \(x \geq \phi(p^q) \geq q\). 一定有 \(a^x~\%~p^q = a^{\phi(p^q)}~\%~p^q = 0\). 所以

\[(a^{x~\%~\phi(p^q)}a^{\phi(p^q)})~\%~p^q = (a^{(x~\%~\phi(p^q)) + \phi(p^q)})~\%~p^q = 0 = a^x~\%~p^q \]

综上, 对于所有正整数 \(q\), \(a\), \(x\), 质数 \(p\), \((x \geq \phi(p^q))\), 有

\[a^x~\%~p^q = (a^{(x~\%~\phi(p^q)) + \phi(p^q)})~\%~p^q \]

设正整数 \(m\), 将其拆分为质因数对应幂的乘积, 由引理一和 \(\phi(x)\) 的积性函数性质得

\[x~\%~\phi(p_{i}^{q_i})= x~\%~lcm(\phi(p_i^{q_i})) = x~\%~\phi(m) \]

因为 \(x \geq \phi(m)\), 所以对于所有 \(i\) 满足 \(p_i|m\), 有

\[x~\%~\phi(p_i^{q_i}) = x~\%~\phi(m) \]

因此

\[a^x \equiv a^{x~\%~\phi(m) + \phi(m)}~(mod~p_i^{q_i}) \]

再次利用引理一, 得到

\[a^x \equiv a^{x~\%~\phi(m) + \phi(m)}~(mod~m) \]

这就是扩展欧拉定理

模板 Luogu5091

求 \(a^b~\%~m\), \((1 \leq a \leq 10^9, 1 \leq b \leq 10^{2*10^7}, 1 \leq m \leq 10^8)\)

根据扩展欧拉定理

\[a^b~\%~m = a^{b~\%~\phi(m) + \phi(m)}~\%~m \]

易证

\[x~\%~p = (((x~\%~10^k)~\%~p) * 10^k + (x~/~10^k))~\%~p \]

所以 \(b\) 对 \(\phi(m)\) 取模, 可以在快读过程中不断取模避免高精

值得一提的是, 本题中可能出现 \(b < \phi(m)\) 的情况, 这时, \(a^{b~\%~\phi(m) + \phi(m)}\) 是错误的, 应该是 \(a^{b~\%~\phi(m)}\), 所以读入时也要判断 \(b\), \(m\) 的大小关系.

while (ch < '0' || ch > '9') {
  ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
  B *= 10;
  B += ch - '0';
  if(B > C) {
    flg = 1;
    B %= C;
  }
  ch = getchar();
}

关于求 \(phi(m)\), 由于只求一个数, 且 \(m \leq 10^8\), 所以线性筛就不好使了, 用下面的式子求出 \(phi(m)\) (先除后乘防溢出)

\[\phi(x) = x \prod_{i}^{p_i|x} (1 - \frac{1}{p_i}) \]

unsigned Phi(unsigned x) {
  unsigned tmp(x), anotherTmp(x), Sq(sqrt(x));
  for (register unsigned i(2); i <= Sq && i <= x; ++i) {
    if(!(x % i)) {
      while (!(x % i)) {
        x /= i;
      }
      tmp /= i;
      tmp *= i - 1;
    }
  }
  if (x > 1) {//存在大于根号 x 的质因数 
    tmp /= x;
    tmp *= x - 1;
  }
  return tmp;
}

这里要说明一下为什么枚举到 \(\sqrt{n}\), 把这些质因数除掉后剩下的 \(n'\) 一定是质数. 首先, \(n' \leq n\), 如果是合数, 一定存在因数 \(p\) 使得 \(p \leq \sqrt{n'} \leq \sqrt{n}\) 或 \(n'/p \leq \sqrt{n'} \leq \sqrt{n}\), 而这个 \(p\) 或 \(n'/p\) 至少有一个已经被枚举到了, 所以 \(n'\) 不可能是合数.

最后便是求乘积了, 用最普通的取模快速幂完成这个任务

unsigned Power(unsigned x, unsigned y) {
  if(!y) {
    return 1;
  }
  unsigned tmp(Power(x, y >> 1));
  tmp = ((long long)tmp * tmp) % D;
  if(y & 1) {
    return ((long long)tmp * x) % D;
  }
  return tmp;
}

最后是加了一点特判的完整 main()

int main() {
  A = RD();
  D = RD();
  C = Phi(D);
  while (ch < '0' || ch > '9') {
    ch = getchar();
  }
  while (ch >= '0' && ch <= '9') {
    B *= 10;
    B += ch - '0';
    if(B > C) {
      flg = 1;
      B %= C;
    }
    ch = getchar();
  }
  if(B == 1) {
    printf("%u\n", A % D);
    return Wild_Donkey;
  }
  if(flg) {
    printf("%u\n", Power(A, B + C));
  }
  else {
    printf("%u\n", Power(A, B));
  }
  return Wild_Donkey;
}
posted @ 2021-03-14 10:34  Wild_Donkey  阅读(394)  评论(0)    收藏  举报