练习：用递归、循环和数学公式计算1到100的和

1.递归算1到100的和

比如本题，计算1到100的和，

可以分割成

• 第一步：计算1 + 2
• 第二步：计算（1 + 2）+ 3
• 第三步：计算（1 + 2 + 3）+ 4
• ....
• 最后一步：计算（... + 99）+ 100

也可以分割成

• 第一步：计算100 + 99
• 第二步：计算（100 + 99）+98
• 第三步：计算（100 + 99 + 98）+ 97
• ...
• 最后一步：计算（... + 2）+ 1

每一步实际上都是“前一步的结果 + 当前数字”，算法是两个参数相加，

随着"当前数字"越来越大（从1加到100）或越来越少（从100加到1），分割的问题规模逐步缩小，最终达到终止条件（如：只剩1个数相加时）。这就构成了递归。

递归的基本要素

1.递归条件（递归调用）

　　问题被分解，函数调用自身去处理更小的问题

2.终止条件（基线条件/边界条件）

　　当问题足够简单时，不再递归，而是直接给出结果，防止无限循环。

以本题为例，从1加到100，终止条件：当前数等于100；递归条件：当前数少于100。

void Main()
{
    Sum(1, 100).Dump();    
}

private int Sum(int start, int end)
{
    if(start == end)//终止条件
        return end;
    else
        return start + Sum(start + 1, end);//递归条件
}
//以 Sum(1, 3) 为例：
//Sum(1, 3) 
//→ 1 + Sum(2, 3) 
//→ 1 + (2 + Sum(3, 3)) 
//→ 1 + (2 + 3) 
//→ 6
//Sum(1, 100) 的实际计算
//Sum(1, 100)
//→ 1 + Sum(2, 100)
//→ 1 + (2 + Sum(3, 100))
//→ ...
//→ 1 + 2 + 3 + ... + 100
//→ 5050

从100加到1，终止条件：当前数等于1；递归条件：当前数大于1；

void Main()
{
    Sum(1, 100).Dump();    
}

private int Sum(int start, int end)
{
    if(end == start)//终止条件
        return start;
    else
        return end + Sum(start, end - 1);//递归条件
        
}
//Sum(1, 100)
//→ 100 + Sum(1, 99)
//→ 100 + 99 + Sum(1, 98)
//→...
//→100 + 99 + ... + Sum(1, 1)

2.循环实现1加到100

int sum = 0;
for (int i = 0; i <= 100; i++)
{
    sum += i;
}
sum.Dump();
===========================================
int sum1 = 0;
int i1 = 1;
while(i1 <= 100)
{
    sum1 += i1;    
    i1++;
}
sum1.Dump();

3.数学公式实现1加到100

void Main()
{
    Sum(100).Dump();
}

private int Sum(int n)
{
    return (1 + n) * n / 2;
}