课堂笔记 2024/5/19 (Easy Round)

四元组计数

题目描述：

问 \(i<j<k<l\) 且 \(a_i=a_k,a_j=a_l\) 的 \(i,j,k,l\) 的个数。

做法：

枚举 \(j,k\)，预处理做完了。

Submission

Count The Blocks

有 \(n\) 位数（可能有前导 \(0\)）。

对于 \(1\le i\le n\)，问长为 \(i\) 的极长连续段数。

做法：

枚举 \(i\)。

显然有 \(n-i-1\) 个非端点连续段，每个连续段有 \(810\) 种方案（两端每个 \(9\) 种，本身取值 \(10\) 种）。

端点连续段有 \(90\) 种取值。

剩下的不受影响。

最终答案为 \((n-i-1) \times 180 \times 10^{\max(0,(n-i-2))} + 180 \times 10^{\max(0,(n-i-1))}\)。

特判 \(i=n\) 的情况，答案为 \(10\)。

Submission

路径计数

\(n\) 个点的 dag。\(m\) 次询问，每次给定 \(k\) 个关键点。

问 \(s\rightarrow t\) 且不经过关键点的方案数。

做法：

记 \(a_{i,j}\) 表示从 \(i\rightarrow j\) 的方案数。

记 \(f_i\) 表示从 \(s\rightarrow k_i\) 且不经过其它 \(k_{j\ne i}\) 的方案数，则有 \(f_i=a_{s,k_i}-\sum_j a_{s,k_i}\times a_{k_j,k_i}\)。

则答案为 \(a_{s,t}-\sum_i f_i\times a_{p_i,t}\)

题目描述:

CF1610D

做法：

记 \(i\) 序列最小元素为 \(x_i\) 则：

• \(\sum \dfrac{b_i(2x_i+b_i-1)}{2}=0\)。
• \(\sum \dfrac{b_i(b_i-1)}{2}=-\sum b_ix_i\)

由裴蜀定理得：

• \(\gcd(b_i)|\sum \dfrac{b_i(b_i-1)}{2}\)。
• \(2|\sum \dfrac{b_i(b_i-1)}{\gcd(b_i)}\)。

如果 \(\gcd(b_i)\bmod 2=1\) 则恒成立。
否则设 \(\gcd(b_i)=k \times 2^p\)，其中 \(k\bmod 2=1\)。

则

• \(2|\sum \dfrac{b_i(b_i-1)}{2^p}\)。

枚举 \(p\)，大于 \(p\) 的任选，等于 \(p\) 的选偶数个。

CF1545B

合并连续的两个1。

数量记为 \(a\)。

零的个数记为 \(b\)。

由于 11 可以随意移动，则答案为 \(\binom{a}{a+b}\)。

Submission

ZHY 的表示法

CF1511E

CF1444B

发现每次必定是最大的 \(n\) 个数 \(-\) 最小的 \(n\) 个数。

有 \(\binom{n}{2n}\) 种 \(p,q\)，乘积即为答案。

Submission

CF1245F

答案即为 \(a \operatorname{and} b =0\) 的 \((a,b)\) 的个数。

数位 dp 即可。

Submission。

CF1167E

CF1442B

CF1366E

CF1359E

发现 \(\forall i,a_1|a_i\)，这题做完了。