随机化
典。随机赋权，查询是否为 \(k\) 的倍数，多次赋权即可。
非正解做法，但大概率正确（实际上过不了 Hack）。
套路的，考虑让每个 \(a_i\) 减去整体的平均值，问题转换为让两个集合的和均为 \(0\)。
我们每次随机打乱 \(a\) 数组，并贪心的将其插入两个堆中，最后判断即可。
先对所有 \(a_i\) 质因子分解。
查询为是否所有质因子都出现了 \(3k\) 次。
考虑给每个质因子一个随机权值，现在要处理类似三进制异或之类的东西。
发现可以用 \(h_1,h_2,h_1\operatorname{xor} h_2\) 维护。
异或和后查询即可。
由于同余的性质可得，如果 \(a_x\equiv a_y \pmod p\)，则 \(|a_x-a_y|\bmod p=0\)。
所以我们随机选择 \(2\) 个 \(a_i,a_j(i\ne j)\) 的话，由于答案集合大于 \(2\)，记 \(d=|a_i-a_j|\)，则 \(m|d\) 的概率是 \(\dfrac{1}{4}\)。
由这个性质直接做即可。
由于要求数量超过一半，因此可以考虑随机化，每次有 \(\dfrac{1}{2}\) 的概率正确。
具体实现时，先将随机的数的因数存下来，记为 \(d_i\)。
记 \(m_i=\gcd(a_i,x)\)，则 \(pos_i\) 为 \(\min_i(m_i\le d_i)\)，令 \(cnt_i\) 为 \(i\) 在 \(\gcd\) 中的出现次数，初始时 \(cnt_{pos_i}=1\),（这一过程类似离散化），\(cnt_i=\sum_{d_i|d_j}cnt_j\)，直接转移即可。
我们取阈值 \(w=10\)，错误概率为 \(2^{-10}\)。
考虑贪心，和第一题思路类似，维护两个堆。
我们每次考虑如下选择：
- 加入第 \(1\) 堆后，\(a_i\) 对 \(\gcd\) 不产生任何影响，则将其放入第 \(2\) 堆。
- 否则将其放入第 \(1\) 堆。
这样显然是可以被卡的。
我们可以多做几次，随机排列 \(a_i\)，正确性提升。
思考问题：对于 \(n\) 个均匀随机分布变量 \(a_1,a_2,a_3\dots a_n \in[1,V]\)，从小到大排序，则 \(a_1\) 的期望大小为 \(\dfrac{V}{n+1}\)。
如果我们知道了最小值和 \(a_1\) 的平均值，则 \(n=\dfrac{V}{a_1}-1\)。
于是，我们对每个点多次随机赋权，且维护该点能到达的点的最小值。
套用上面的做法即可。
记 \(s_l\) 表示最长的 \(r\)，使得询问 \([l,r]\) 回答是 Yes。
任务转为求出 \(s_i\)。
显然，对于 \(l<n\)，\(s_l\le s_{l+1}\)。
使用双指针算法。
进一步的，我们把同样的 \(a_{i,j,0/1/2}\) （\(j\) 为下标） 放到一起，维护 \(c_{i,j}\) 表示现在的限制（\(i\) 表示两个序列中的哪一个，\(j\) 表示元素大小，限制指 \(a_{i,k,0/1/2}=j\) 的 \(i\) 组成的集合），暴力开 set 用 map 维护显然是不可取的，采用 Xor Hash 即可，当限制相同（\(c_{0,i}=c_{1,j}\) 可以全部匹配）时才可以保证合法。
令 \(cnt\) 表示不匹配的 \(x\) 的个数。
先构造随机序列 \(s_{1\sim n}\)，每次消除原先的贡献，异或上 \(s_x\)，并加入新的贡献，注意：两个序列的贡献是恰好相反的（用 \(\pm1\) 来表示），对于一个限制，如果贡献此时不为 \(0\)，则对 \(cnt\) 产生 \(1\) 的贡献。
开 umap 可以做到 \(\mathcal O(n+q)\)。
发现随机选择 \(x,y,z\)，实际上答案为根节点的左右儿子概率最大，记为 \(u,v\)。
则可以通过 \(n\) 次询问 \((u,v,i)\) 得出根的值。
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