数位 DP + CF_Round_1035

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数位 DP 算法

数位 DP 主要的原理就是通过对不同的连续数位进行相关操作，然后通过一定的加加减减得到答案。数位 DP 要求我们各数位之间是有递进关系，在状态存储上不断递推（或递归）。

实现数位 DP，就像刚刚说的，常用递推或递归方法。最常用的还是递归方法，也就是记忆化搜索。当然，这里贴个模板代码，下面是一道模板题。

给定一个数 \(x\)，满足 \(1\leq x \leq 9\)，现请你在 \(1,2,3,\dots,n\) 中找出数字 \(x\) 出现的次数。请注意，若数字在一个数中出现多次，那么次数也是多次。例如，对于数 \(i=10x+x\)，即 \(i=\texttt{xx}\)，那么出现次数在这个数中为 \(2\)。

\(\text{\bf{记忆化搜索代码}}\)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int x,n;
int len;
int f[10][10][2][2],numm[20];
int w[20];
int dfs(int cur,int d,bool up,bool zero){
	if(cur==0) return 0;
	if(~f[cur][d][up][zero]) return f[cur][d][up][zero];
	int limit;
	if(up==true) limit=numm[cur];
	else limit=9;
	int res=0;
	for(int i=0;i<=limit;i++){
		if(i==x){
			if(up&&i==limit) res+=n%w[cur]+1;
			else res+=w[cur];
		}
		res+=dfs(cur-1,i,up&&(i==numm[cur]),zero&&(i==0));
	}
	f[cur][d][up][zero]=res;
	return res;
}
void solve(){
	for(int i=n;i>0;i/=10){
		numm[++len]=i%10;
	}
	w[1]=1;
	for(int i=2;i<=len;i++){
		w[i]=w[i-1]*10;
	}
	memset(f,-1,sizeof(f));
	cout<<dfs(len,0,true,true)<<endl;
}
signed main(){
	cin>>n>>x;
	solve();
	return 0;
}

\(\text{\bf{数位 DP 递推代码}}\)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int dp[15][10],w[15],numm[15];
int n,x,len;
int ans;
void solve(){
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	int s=1;
	dp[1][x]=1;
	for(int i=2;i<=len;i++){
		int ss=s;
		s=0;
		for(int j=0;j<=9;j++){
			if(j==x){
				dp[i][j]=ss+w[i];
			} else {
				dp[i][j]=ss;
			}
			s+=dp[i][j];
		}
	}
	ans=0;
	for(int i=len;i>=1;i--){
		for(int j=0;j<numm[i];j++){
			ans+=dp[i][j];
		}
		if(i>1&&numm[i]==x) ans+=n%w[i]+1;
	}
	ans+=dp[1][numm[1]];
	/*if(x==0) {
		for(int i=len;i>=2;i--){
			ans-=w[i];
		}
	}*/
}
signed main(){
	cin>>n>>x;
	for(int i=n;i>0;i/=10){
		len++;
		numm[len]=i%10;
	}
	w[1]=1;
	for(int i=2;i<=len;i++){
		w[i]=w[i-1]*10;
	}
	solve();
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

\(\text{\bf{一些注意事项}}\)

• 数位 DP 最好还是用递归（即记忆化搜索）来实现。因为一旦状态多起来、条件复杂起来，递推要考虑的特殊情况实在太多，代码过于难写。递归中，模板比较套路，题目也大多是按照那些参数套路来，所以不用过于担心很多问题。（例如前导〇）

• 数位 DP 中除了模板套路，我们还可以设计一些其他的状态。但请记住，无论如何设计状态，我们一定要用与答案密切相关的量，例如 \(sum\)。

CF Round 1035

怎么说呢？先说一下具体情况。刚开始比赛，第一题看了之后以为是裸搜索，但之后发现按照我的期望的搜索方法需要使用优先队列，还必须重载运算符，问题是我不会所以就开始考虑其他方法。通过举例和不重不漏的分类，最终发现 \(O(1)\) 算法，打出来了，时间 \(\texttt{19:25}\)。

之后就没了。为什么？第二题卡了半天。不会？不可能的。但是不管怎样，怎么调都不对， \(\texttt{test2}\) 总是过不去。既然如此，那就去打第三题吧。第三题推出了一些特殊性质，好像足够解题了（注意，这里并没有做出来），于是就回去打第二题想着调完第二题再回来。当然，不出意外地，第二题还是 \(\texttt{WA on test2}\)。这下可给我急坏了，感觉调不出来了，于是尝试考虑第三题，根据特殊性质写代码。结果，愣是没写出来，一个细节始终没处理出来。最后 \(8\) 分钟的时候，突然想到第二题可以重构代码换种思路，于是疯狂打，在 \(\texttt{20:57}\) 的时候交了一发，结果 \(\texttt{WA}\) 了。迅速调试，发现少打了一个等于号，连验都不验了，直接保存交上去，结果又 \(\texttt{WA}\) 了。时间来到 \(\texttt{20:59}\)。突然间，会查代码时注意到自己调试没删。。。疯狂删除保存提交，最终还是没能力挽狂澜，交的时候比赛已经结束了。。。结果，\(\texttt{AC}\) 了。比完赛后，发现第三题也是非常可做的，但是死脑筋了。

总结一下：

• \(\text{\bf{比赛要有合理策略。}}\)不要死磕，不要用一种方法死磕，不要一直死磕。如果发现自己正在死磕，不妨换一种方式考虑问题。不然，还真可能就被赖上了。

• \(\text{\bf{更深的思考，更旁观的思路。}}\)在思考过程中，如第三题，仅仅推出特殊性质还不够（其实已经够了），我们还要思考一下利用特殊性质解题。解决不了的，我们仍然要使用这种特殊性质，仔细把清题目要我们求什么，而不是按照自己先入为主的理念利用特殊性质。例如，第三题中，我就想如果得到 \(0\) 需要什么，得到 \(1\) 需要什么，却没有一起考虑，错误归类，并没有归类成不同条件下相同需要什么。这就导致我浪费了我得出的特殊性质。

• $\text{\bf{细节考虑到位。}} $有的时候，也许就是那一细节，也许就是隔了 \(2\) 分钟写题目产生的割裂感，都会导致两个东西完全不相同。可能在草稿纸上演练完了以后，\(\leq\) 就变成了 \(\geq\) 或 \(<\)，导致最终判错。所以，思路清晰且专一是很有必要的。可以尝试对于一些易错代码先打注释，再按照注释写。

\[\texttt{I'm waiting for the next!!!} \]