有趣的反常函数

下面讨论的全体函数定义域都为 \(\mathbb{R}\)，值域各有千秋只能说。

处处不连续

Dirichlet function：

\[ D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} \]

显然，它在所有点不连续。

在无理点连续，在有理点不连续

Riemann function：

\[ R(x) = \begin{cases} \frac{1}{q} & x = \frac{p}{q} \text{ 是一个既约分数的有理数} \\ 0 & x \text{ 是无理数} \end{cases} \]

在零点处可导，在其它所有点不连续

\(f(x)=D(x)x^2\) 显然满足条件，它在 \(0\) 处导数为 \(0\)，在其它地方不连续。

另外，不存在在零点处二阶可导，在其它所有点不连续的函数。

在零点处任意阶导为 \(0\) 的非零函数

\[f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}}&x\ne 0\\0&x=0\end{cases} \]

连续但处处不可导

Weierstrass function 的一个实例：

\[W(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(32^kx)}{4^k} \]

处处连续的证明：

对于任意 \(x_0\)，任意取 \(\delta>0\)，取 \(n_0=\left\lceil \frac{\ln(3\delta)}{\ln 4}\right\rceil+2\)，注意到 \(\left|\sum\limits_{k=n_0}^{\infty}\frac{\cos(32^kx)}{4^k}\right|<\frac{\delta}{4}\)，所以这部分产生的差距不会超过 \(\frac{\delta}2\)，然后由于前 \(n_0\) 项是连续的，所以它们的和也是连续的，所以存在 \(\epsilon\) 满足 \(\forall |x-x_0|<\epsilon\) ，前 \(n_0\) 项差值不会超过 \(\frac{\delta}{2}\)，所以处处连续。

处处不可导的证明：咕咕咕。

可导但导函数间断

\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}\sin\frac{1}{x}&(x\neq0)\\ 0&(x = 0)\end{array}\right. \]

可以证明：

\[f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac1{x}&x\neq0\\ 0&x = 0\end{array}\right. \]

在 \(0\) 处不连续。

递增但有理点处处间断

\[f(x)=\lfloor x\rfloor+\sum\limits_{i\in \mathbb{Q},\lfloor x\rfloor\le i<x}10^{-\frac{1}{R(i)}} \]

显然单调递增且在有理点处处间断。

另外，不存在函数单调递增且处处不连续，上面举出的函数例子也仅仅是在有理点不连续，但是在无理点连续。

可导但导函数在有理点处处间断

\[g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}\sin\frac{1}{x}&x\neq0\\ 0&x = 0\end{array}\right. \]

定义：

\[f(x)=\sum\limits_{i\in \mathbb{Q}}g(x-i)10^{-\frac {|i|}{R^2(i)}} \]

那么 \(f'(x)=\sum\limits_{i\in \mathbb{Q}}g'(x-i)10^{-\frac {|i|}{R^2(i)}}\) 显然收敛，且在有理点处处处间断，无理点处处处连续。

另外，不存在函数处处可导，但导函数处处间断。

连续但在有理点不可导

\[f(x)=\sum_{i\in \mathbb{Q}}|x-i|10^{-\frac{|i|}{R^2(i)}} \]

有极值但极值点左右任意小邻域不单调

\[f(x)=\begin{cases}2x^2+x^2\sin{\frac1x}&x\ne 0\\0&x=0\end{cases} \]

容易发现 \(0\) 是极小值，但是：

\[f'(x)=\begin{cases}4x+2x\sin{\frac1x}-\cos\frac1x&x\ne 0\\0&x=0\end{cases} \]

显然在 \(0\) 的左右侧不单调。

可导且在一点导数不为 \(0\) 但左右任意小邻域不单调

\[f(x)=\begin{cases}x+2x^2\sin{\frac1x}&x\ne 0\\0&x=0\end{cases} \]

\[f'(x)=\begin{cases}1+4x\sin\frac{1}{x}-2\cos\frac{1}{x}&x\ne 0\\1&x=0\end{cases} \]

严格递减且函数正无穷处极限为 \(0\) 但导函数正无穷处极限非 \(0\)

\[f(x)=\int_x^{+\infty}\frac{\operatorname{d}t}{1+t^4\sin^2t} \]

注意到：

\[\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)\approx 3.357078 \]