[题解]UVA12984 Pick The Sticks

题意

有一块长度为 \(L\) 的木板，现在给定 \(N\) 块金条的长度 \(a_i\) 和价值 \(v_i\)。现要求在木板上放置若干个金条（只要放上的金条有 \(\frac{1}{2}\) 在木板上就算放置成功）的最大价值是多少。

思路

应该算是一道背包的变形题吧。

首先我们定义 \(dp_{i,j}\) 表示放置金条长度的总和为 \(i\)，且在边缘上放了 \(k\) 个金条的最大价值。

我们在推状态转移方程前，我们可以将所有长度乘以 \(2\)，避免出现小数。

然后，状态转移方程就很好想了：

\[ dp_{j,k} = \max(dp_{j - a_i,k} + v_i,dp_{j - \frac{a_i}{2},k - 1} + v_i) \]

前一个公式表示当前需要放置的金条放在木板中间，第二个公式表示放在边缘。

故，最后的答案就是 \(\max(dp_{i,j})\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define int long long  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 6010;  
int T,n,m,ans;  
int arr[N],brr[N];  
int dp[N][4];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
signed main(){  
    T = read();  
    for (re int opt = 1;opt <= T;opt++){  
        ans = 0;  
        memset(dp,0,sizeof(dp));  
        n = read();  
        m = read() << 1;//乘以 2   
        for (re int i = 1;i <= n;i++){  
            arr[i] = read() << 1;//乘以 2   
            brr[i] = read();  
            ans = max(ans,brr[i]);  
        }  
        for (re int i = 1;i <= n;i++){  
            for (re int j = m;j >= arr[i] / 2;j--){//倒着推   
                for (re int k = 0;k <= 2;k++){  
                    if (j >= arr[i]) dp[j][k] = max(dp[j][k],dp[j - arr[i]][k] + brr[i]);  
                    if (k) dp[j][k] = max(dp[j][k],dp[j - arr[i] / 2][k - 1] + brr[i]);  
                    ans = max(ans,dp[j][k]);  
                }  
            }  
        }  
        printf("Case #%lld: %lld\n",opt,ans);  
    }  
    return 0;  
}