[题解]P4310 绝世好题

思路

定义 \(dp_i\) 表示在 \(a_{1 \sim i}\) 中选数，在满足题意的情况下的最长长度。

那么，我们在转移 \(dp_i\) 的时候，可以枚举一个 \(j\) 表示在 \(b\) 中，当前数的上一个数在 \(a\) 中的位置。

如果有 a[i] & a[j] != 0，那么，有转移 \(dp_i = \max(dp_j +1 )\)。

但是，这样时间复杂度为 \(\Theta(n^2)\)，只能获得 90 pts，考虑用二进制优化。

不难发现，对于 \(dp_i\) 能被 \(dp_j\) 转移，当且仅当 a[i] & a[j] != 0，即 \(a_i\) 和 \(a_j\) 的二进制中有一位都是 \(1\)。

那么，我们可以用 \(dp\) 数组维护第 \(i\) 位为 \(1\) 的最长长度。由此，定义 \(dp_i\) 表示选择二进制中第 \(i\) 位为 \(1\) 的最长长度。

那么，对于每一个 \(a_i\) 都能被满足 (1 << j) & a[i] 的 \(dp_j\) 转移。然后，这样可以找到一个 \(\max\)，再用这个 \(\max\) 更新 \(dp\) 即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 25;  
int n,ans;  
int dp[N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
int main(){  
    n = read();  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        int x,Max = 0;  
        x = read();  
        for (re int j = 0;(1 << j) <= x;j++){  
            if ((1 << j) & x) Max = max(Max,dp[j] + 1);  
        }  
        for (re int j = 0;(1 << j) <= x;j++){  
            if ((1 << j) & x) dp[j] = Max;  
        }  
        ans = max(ans,Max);  
    }  
    printf("%d",ans);  
    return 0;  
}