[题解]GYM 101561G Non-negative Partial Sums

题意

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，可以循环左移 \(k\) 位，得到新的序列。

求在所有循环左移得到的 \(n\) 个序列中，有多少个序列满足前 \(i\) 个元素的和为非负数。（其中 \(1 \leq i \leq n\)）

注：循环左移 \(k\) 位表示将原序列变为 \(a_k,a_{k + 1},\dots,a_1,a_{2},\dots,a_{k - 1}\)。

思路

首先，对于这一类循环序列的题目，有一个很常规的做法，就是将两个序列拼起来，即：\(a_{i + n} = a_i\)。

那么，我们再维护一个前缀和 \(s\)。

不难发现，对于我们当前要判断的区间 \([i,i + n - 1]\)，当且仅当，保证任意的 \(j\)（其中 \(i \leq j \leq i + n - 1\)），\(s_j - s_{i - 1} \geq 0\)，才能计入答案。

那么，对于每一个区间中 \(s_{i - 1}\) 是一个定值，我们只需要维护 \(s_j\) 即可。

所以，如果 \(\min_{i \leq j \leq i + n - 1}\{s_j\} - s_{ i- 1} \geq 0\)，那么这个区间一定能计入答案。

可以考虑线段树维护区间最小值。但是，这道题的毒瘤数据卡常，所以换一种数据结构。

这里发现每一次维护的区间大小都是 \(n\)，所以可以用单调队列实现。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 2e6 + 10,inf = 1e9 + 10;  
int n,ans,hh,tt;  
int arr[N],s[N],q[N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
int main(){  
    while (n = read(),n){  
        hh = 1;  
        ans = t = 0;  
        memset(s,0,sizeof(s));  
        for (re int i = 1;i <= n;i++) arr[i] = read();  
        for (re int i = 1;i <= n;i++) arr[i + n] = arr[i];  
        for (re int i = 1;i <= 2 * n;i++) s[i] = s[i - 1] + arr[i];  
        for (re int i = 1;i < 2 * n;i++){  
            while (hh <= tt && s[q[tt]] >= s[i]) tt--;  
            if (hh <= tt && q[hh] <= i - n) hh++;  
            q[++tt] = i;  
            if (i >= n){  
                if (s[q[hh]] - s[i - n] >= 0) ans++;  
            }  
        }  
        printf("%d\n",ans);  
    }  
    return 0;  
}