[题解]CF1918F Caterpillar on a Tree

思路

首先有一个显然结论：如果我们将所有叶子节点全部遍历过了，那么整棵树都将被遍历。

于是我们只需要考虑叶子节点之间的关系。再其次，我们发现同一棵子树内的叶子节点一定是被连续遍历的。

考虑将 \(k\) 赋值为 \(k + 1\)，那么最终我们是需要直接返回根节点的。

显然，当我们访问完一棵子树后，我们需要返回根节点。令这个点为 \(p_u\)，则直接返回的代价是 \(d_{p_u} - d_{fa_u} = d_{p_u} - d_u + 1\)。如果只用传送门，则代价为 \(d_{fa_u} = d_u - 1\)。

那么两式相减，得到使用传送门能使答案变优的数量：\(d_{p_u} - 2 \times d_{u} + 2\)。由这个式子可以看出，我们 \(p_u\) 就是 \(u\) 子树内深度最深的点。

然后贪心地选择前 \(k\) 大的数即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define fst first
#define snd second
#define re register

using namespace std;

typedef pair<int,int> pii;
const int N = 2e5 + 10;
int n,k,ans;
int d[N],Max[N],p[N];
bool vis[N];
pii arr[N];
vector<int> g[N];

inline int read(){
    int r = 0,w = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9'){
        if (c == '-') w = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9'){
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return r * w;
}

inline void dfs(int u,int fa){
    p[u] = u;
    Max[u] = d[u] = d[fa] + 1;
    for (auto v:g[u]){
        dfs(v,u);
        if (Max[u] < Max[v]){
            Max[u] = Max[v]; p[u] = p[v];
        }
    }
}

int main(){
    n = read(),k = read() + 1;
    d[0] = -1; ans = 2 * (n - 1);
    for (re int i = 2;i <= n;i++){
        int x; x = read();
        g[x].push_back(i);
    }
    dfs(1,0);
    for (re int i = 2;i <= n;i++) arr[i] = {Max[i] - 2 * d[i] + 2,p[i]};
    sort(arr + 1,arr + n + 1,[](const pii &a,const pii &b){
        return a > b;
    });
    for (re int i = 1;i <= n && k;i++){
        if (arr[i].fst <= 0) break;
        if (vis[arr[i].snd]) continue;
        k--;
        ans -= arr[i].fst; vis[arr[i].snd] = true;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}