[题解]CF1884D Counting Rhyme

思路

首先可以转化一下题意，发现对于一个好的数对 \((i,j)\) 成立，一定满足无法在 \(a\) 中找到一个 \(a_k\) 为 \(\gcd(i,j)\) 的因子。

不妨设 \(dp_i\) 表示满足 \(\gcd(a_p,a_q) = i\) 的数对数量，\(num_i\) 表示 \(i\) 在 \(a\) 中出现的次数。

那么令 \(t = \sum_{k = 2}^{k \times i \leq n}{num_{k \times i}}\)。

显然有：

\[ dp_i = \frac{t \times (t - 1)}{2} - \sum_{k = 2}^{k \times i \leq n}{dp_{k \times i}} \]

那么同时记录 \(vis_i\) 表示在 \(a\) 中是否存在 \(i\) 的因子，如果没有出现过，则将答案加上 \(dp_i\)。

这些东西都是可以在一遍埃筛中解决的，时间复杂度为 \(\Theta(n \log n)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define re register  
#define int long long  
  
using namespace std;  
  
const int N = 1e6 + 10;  
int T,n;  
int arr[N],dp[N],num[N];  
bool vis[N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
inline void solve(){  
    int ans = 0;  
    n = read();  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        dp[i] = num[i] = 0;  
        vis[i] = false;  
    }  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        arr[i] = read();  
        num[arr[i]]++;  
        vis[arr[i]] = true;  
    }  
    for (re int i = n;i;i--){  
        int t = 0;  
        for (re int j = i;j <= n;j += i){  
            t += num[j];  
            dp[i] -= dp[j];  
            vis[j] |= vis[i];  
        }  
        dp[i] += t * (t - 1) / 2;  
    }  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        if (!vis[i]) ans += dp[i];  
    }  
    printf("%lld\n",ans);  
}  
  
signed main(){  
    T = read();  
    while (T--) solve();  
    return 0;  
}