[题解]CF1714F Build a Tree and That Is It

思路

由于题目中说这是一棵无根树，不太方便思考，于是，我们可以假装把这棵树看做有根树。

首先我们令 \(d_1,d_2,d_3\) 分别表示从根节点到节点 \(1,2,3\) 的长度（不算相交部分）。

那么我们可以得到下式：

\[ \left\{\begin{matrix} d_{12} = d_1 + d_2\\ d_{13} = d_1 + d_3\\ d_{23} = d_2 + d_3\\ \end{matrix}\right. \]

我们已知 \(d_{12},d_{13},d_{23}\)，那么我们尽可能的将 \(d_1,d_2,d_3\) 用 \(d_{12},d_{13},d_{23}\) 表示。

然后，根据将三式互相代入得：

\[ \left\{\begin{matrix} d_1 = \frac{d_{12} + d_{13} - d_{23}}{2}\\ d_2 = \frac{d_{12} + d_{23} - d_{13}}{2}\\ d_3 = \frac{d_{13} + d_{23} - d_{12}}{2}\\ \end{matrix}\right. \]

知道了上述式子，我们可以先来看一下输出 NO 的情况。

1. \(d_{1} < 0 \operatorname{or} d_2 < 0 \operatorname{or} d_3 < 0\)，一定无解。因为如果距离为负了一定不成立。
2. \(d_1 + d_2 + d_3 \geq N\)，一定无解。因为如果最短的距离之和（可以理解为最少需花费的节点数量减 \(1\)）大于了上限，一定无解。
3. \((d_{12} + d_{13} + d_{23}) \bmod 2 = 1\)，一定无解。因为我们的 \(d_1,d_2,d_3\) 一定是整数，如果它们三数相加不是 \(2\) 的倍数，那么最后的 \(d_1,d_2,d_3\) 一定不为整数。

后面我们直接挨着挨着加点即可。

需要注意的是，有可能建立完 \(d_1 + d_2 + d_3\) 个节点后，没有花完 \(N\) 个点，我们只需将剩下的点随便加到某一个节点之下即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
int T,n,a,b,c,d;  
int arr[15];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
int main(){  
    T = read();  
    while (T--){  
        n = read();  
        a = read();  
        b = read();  
        c = read();  
        arr[1] = a + c - b >> 1;  
        arr[2] = a + b - c >> 1;  
        arr[3] = b + c - a >> 1;  
        if (arr[1] < 0 ||  arr[2] < 0 || arr[3] < 0 || arr[1] + arr[2] + arr[3] >= n || a + b + c & 1) puts("NO");//判断无解   
        else{  
            puts("YES");  
            int idx = 3,r = 0;  
            for (re int i = 1;i <= 3;i++){//找出一个根   
                if (!arr[i]){  
                    r = i;  
                    break;  
                }  
            }  
            if (!r) r = idx = 4;//如果没找到直接随便认一个   
            for (re int i = 1;i <= 3;i++){  
                if (i == r) continue;  
                printf("%d ",r);//挨个加边   
                for (re int j = 1;j < arr[i];j++) printf("%d\n%d ",++idx,idx);  
                printf("%d\n",i);  
            }  
            while (idx < n) printf("1 %d\n",++idx);//加剩下的点   
        }  
    }  
    return 0;  
}