[题解]CF451E Devu and Flowers

思路

Part 1 简单版

我们先想一想，如果每一种花有无限个，有多少种选法。

我们先假设第 \(i\) 种花选 \(x_i\) 支，那么，我们可以得出以下式子：

\[ \sum_{i = 1}^{i = n}x_i = m \]

然后，我们根据隔板法，得出答案：\(C_{n + m + 1}^{n - 1}\)。

Part 2 本题

对于这题，拥有了一个 \(x_i \leq a_i\) 的条件，比较棘手，于是，我们可以通过容斥原理的方法来做。

这里，我们可以用正难则反的思想，求出至少有一个 \(x_i > a_i\) 的数量。

我们定义 \(S_i\) 表示不满足 \(x_i \leq a_i\) 的数量。

那么，我们的答案就是：\(C_{n + m - 1}^{n - 1} - |S_1 \cup S_2 \dots \cup S_n|\)。

通过容斥原理，得：$C_{n + m - 1}^{n - 1} - |S_1| - |S_2| - \dots + |S_1 \cap S_2| + \dots $。

那么，我们的 \(S_i\) 怎么求呢？

我们可以先假设 \(x_i\) 为 \(a_i + 1\)，因此，我们的 \(S_i\) 就为 \(C_{n + m - a_i - 2}^{n - 1}\)。

例如：\(|S_1| = C_{n + m - a_1 - 2}^{n - 1},|S_1 \cap S_2| = C_{n + m - a_1 - a_2 - 3}^{n - 1}\)。

然后，我们也是通过状态压缩的方式解决。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define int long long  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 25,mod = 1e9 + 7;  
int n,m,inv,ans,sum = 1;  
int arr[N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
inline int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){//拓展欧几里得算法求逆元   
    if (!b){  
        x = 1;  
        y = 0;  
        return a;  
    }  
    int d = exgcd(b,a % b,y,x);  
    y = y - a / b * x;  
    return d;  
}  
  
inline int C(int a,int b){//组合数   
    if (a < b) return 0;  
    int x = 1;  
    for (re int i = a;i > a - b;i--) x = i % mod * x % mod;  
    return x % mod * inv % mod;  
}  
  
signed main(){  
    n = read();  
    m = read();  
    for (re int i = 1;i <= n;i++) arr[i] = read();  
    for (re int i = 1;i <= n - 1;i++) sum = sum * i % mod;  
    int x,y;  
    exgcd(sum,mod,x,y);//求逆元   
    inv = (x + mod) % mod;  
    for (re int i = 0;i <= (1 << n) - 1;i++){//状态压缩枚举   
        int cnt = 0;  
        int a = n + m - 1,b = n - 1;  
        for (int j = 1;j <= n;j++){  
            if ((i >> j - 1) & 1){  
                cnt++;  
                a = a - (arr[j] + 1);  
            }  
        }  
        if (cnt & 1) ans = (ans - C(a,b)) % mod;  
        else ans = (ans + C(a,b)) % mod;  
    }  
    printf("%lld",(ans + mod) % mod);  
    return 0;  
}