[题解]AT_abc238_f [ABC238F] Two Exams

思路

首先对于这种题目多半是要先以 \(a_i\) 排序的，这样我们可以消除 \(a_i\) 的限制，只需要考虑 \(b_i\) 的限制即可。

定义 \(dp_{i,j}\) 表示在前 \(i\) 个人中选 \(j\) 个人的合法方案数。但是这样不知道前面选取人的 \(b_i\) 的大小。

因此，重新定义 \(dp_{i,j,k}\) 表示在前 \(i\) 个人中选 \(j\) 个人，且在没有选的人中 \(\min(b_p) = k\) 的合法方案数。

对于第 \(i\) 个人，有两种情况：

1. 不选，那么容易得到状态转移方程 \(dp_{i,j,\min(k,b_i)} = dp_{i - 1,j,k}\)。
2. 选，那么状态转移方程为 \(dp_{i,j + 1,k} = dp_{i - 1,j,k}\)。

答案就是 \(\sum_{i = 1}^{n + 1}dp_{n,m,i}\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define int long long  
#define fst first  
#define snd second  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
typedef pair<int,int> pii;  
const int N = 310,mod = 998244353;  
int n,m,ans;  
int dp[N][N][N];  
pii arr[N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
signed main(){  
    n = read();  
    m = read();  
    for (re int i = 1;i <= n;i++) arr[i].fst = read();  
    for (re int i = 1;i <= n;i++) arr[i].snd = read();  
    sort(arr + 1,arr + n + 1);  
    dp[0][0][n + 1] = 1;  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        for (re int j = 0;j <= min(i,m);j++){  
            for (re int k = 1;k <= n + 1;k++){  
                dp[i][j][min(k,arr[i].snd)] = (dp[i][j][min(k,arr[i].snd)] + dp[i - 1][j][k]) % mod;  
                if (k > arr[i].snd) dp[i][j + 1][k] = (dp[i][j + 1][k] + dp[i - 1][j][k]) % mod;  
            }  
        }  
    }  
    for (re int i = 1;i <= n + 1;i++) ans = (ans + dp[n][m][i]) % mod;  
    printf("%lld",ans);  
    return 0;  
}