[题解]AT_abc236_e [ABC236E] Average and Median

思路

直接将输出的答案分为两个分考虑。

(1)

考虑二分 + DP。

设当前二分出的平均数为 \(x\)，如果合法，那么有（其中 \(p\) 为选出数下标的集合）：

\[ \frac{a_{p_1} + a_{p_2} + \dots + a_{p_k}}{k} \geq x \]

即：

\[ \frac{(a_{p_1} - x) + (a_{p_2} - x) + \dots + (a_{p_k} - x)}{k} \geq 0 \]

所以：

\[ (a_{p_1} - x) + (a_{p_2} - x) + \dots + (a_{p_k} - x) \geq 0 \]

不妨令 \(A_i = a_i - x\)，那么 \(dp_i\) 表示在 \(A\) 的前 \(i\) 个数中选，并且必须选 \(A_i\) 的最大子序列和（在满足题意的情况下）。

那么，得出状态转移方程：

\[ dp_{i} = \max(dp_{i - 1},dp_{i - 2}) + A_i \]

最后，如果 \(\max(dp_n,dp_{n - 1}) \geq 0\) 说明当前的 \(x\) 合法。

(2)

同理，二分 + DP。

设当前二分出的中位数为 \(x\)。

1. 如果 \(a_i < x\)，令 \(B_i = -1\)。
2. 否则，令 \(B_i = 1\)。

那么 \(dp_i\) 表示在 \(B\) 的前 \(i\) 个数中选，并且必须选 \(A_i\) 的最大子序列和（在满足题意的情况下）。

如果 \(\max(dp_n,dp_{n - 1}) > 0\) 说明当前的 \(x\) 合法。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 1e5 + 10;  
const double eps = 1e-6;  
int n;  
double arr[N],A[N],dp1[N];  
int B[N],dp2[N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
inline bool check1(double x){  
    for (re int i = 1;i <= n;i++) dp1[i] = max(dp1[i - 2],dp1[i - 1]) + A[i];  
    return max(dp1[n],dp1[n - 1]) >= 0;  
}  
  
inline bool check2(double x){  
    for (re int i = 1;i <= n;i++) dp2[i] = max(dp2[i - 2],dp2[i - 1]) + B[i];  
    return max(dp2[n],dp2[n - 1]) > 0;  
}  
  
int main(){  
    n = read();  
    for (re int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lf",&arr[i]);  
    double l = 0,r = 1e9;  
    while (r - l > eps){  
        double mid = (l + r) / 2;  
        for (re int i = 1;i <= n;i++) A[i] = arr[i] - mid;  
        if (check1(mid)) l = mid;  
        else r = mid;  
    }  
    printf("%.4lf\n",l);  
    int ll = 0,rr = 1e9;  
    while (ll < rr){  
        int mid = ll + rr + 1 >> 1;  
        for (re int i = 1;i <= n;i++){  
            if (arr[i] >= mid) B[i] = 1;  
            else B[i] = -1;  
        }  
        if (check2(mid)) ll = mid;  
        else rr = mid - 1;  
    }  
    printf("%d",ll);  
    return 0;  
}