[题解]AT_abc217_g [ABC217G] Groups

思路

定义 \(dp_{i,j}\) 表示将前 \(i\) 个数，正好分为 \(j\) 组的方案数。

那么，我们对 \(i\) 号元素进行分类讨论：

1. 将 \(i\) 放入原本就存在的组中，因为在同一个组中不能存在两个数 \(x,y\)，使得 \(x \bmod m = y \bmod m\)。所以对于 \(i\)，如果它是 \(m\) 的倍数，则在 \(1 \sim i - 1\) 中，与其模 \(m\) 的值相同的有 \(\frac{i}{m} - 1\) 个；否则，有 \(\lfloor \frac{i}{m} \rfloor\) 个，并将此数记为 \(x\)。即，在剩下 \(j - x\) 组中选出 \(1\) 组来加入。由此，得到状态转移方程 \(dp_{i,j} = dp_{i - 1,j} \times (j - x)\)。
2. 将 \(i\) 单独新开作一组，则与其它的元素无关，得状态转移方程 \(dp_{i,j} = dp_{i - 1,j - 1}\)。

综上，得状态转移方程：

\[ dp_{i,j} = dp_{i - 1,j} \times (j - x) + dp_{i - 1,j - 1} \]

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define int long long  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 5010,mod = 998244353;  
int n,m;  
int dp[N][N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 1) + (r << 3) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
signed main(){  
    dp[0][0] = 1;  
    n = read();  
    m = read();  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        for (re int j = 1;j <= i;j++){  
            if (i % m != 0) dp[i][j] = dp[i - 1][j] * (j - i / m) % mod;  
            else dp[i][j] = dp[i - 1][j] * (j - i / m + 1) % mod;  
            dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - 1]) % mod;  
        }  
    }  
    for (re int i = 1;i <= n;i++) printf("%lld\n",dp[n][i]);  
    return 0;  
}