[题解]AT_abc216_f [ABC216F] Max Sum Counting

思路

首先，不难发现，对于本题将 \(a,b\) 合成一个序列，并按照 \(a_i\) 排序的答案不会发生变化。所以，我们可以直接排序，那么，我们当前枚举到的 \(a_i\) 就是当前的 \(\max(a_i)\)。

定义 \(dp_{i,j,0/1}\) 表示在 \(1 \sim i\) 中，选择的 \(b_i\) 之和为 \(j\)，并且第 \(i\) 个数 不选/选 的方案数。

不难得出状态转移方程：

\[ \left\{\begin{matrix} dp_{i,j,0} = dp_{i - 1,j,0} + dp_{i - 1,j,1} \\ dp_{i,j,1} = dp_{i - 1,j - b_i,0} + dp_{i - 1,j - b_i,1} \end{matrix}\right. \]

然后来考虑一下 \(i,j\) 的边界问题，\(i\) 明显是 \(1 \leq i \leq n\)，而 \(j\) 要满足 \(\sum_{k}b_k \leq \max(a_k)\) 的条件，所以 \(j\) 不能大于 \(\max(a_i)\)，由此，\(1 \leq j \leq \max(a_i)\)。

递推起点为：\(dp_{0,0,0} = 1\)。答案为 \(\sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^{a_i}dp_{i,j}\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define int long long  
#define fst first  
#define snd second  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
typedef pair<int,int> pii;  
const int N = 5010,mod = 998244353;  
int n,ans;  
int dp[N][N][2];  
pii arr[N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 1) + (r << 3) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
signed main(){  
    dp[0][0][0] = 1;  
    n = read();  
    for (re int i = 1;i <= n;i++) arr[i].fst = read();  
    for (re int i = 1;i <= n;i++) arr[i].snd = read();  
    sort(arr + 1,arr + n + 1);  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        for (re int j = 0;j <= arr[n].fst;j++){  
            dp[i][j][0] = (dp[i - 1][j][0] + dp[i - 1][j][1]) % mod;  
            if (j >= arr[i].snd) dp[i][j][1] = (dp[i - 1][j - arr[i].snd][0] + dp[i - 1][j - arr[i].snd][1]) % mod;  
        }  
    }  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        for (re int j = 1;j <= arr[i].fst;j++) ans = (ans + dp[i][j][1]) % mod;  
    }  
    printf("%lld",ans);  
    return 0;  
}