[题解]AT_abc158_e [ABC158E] Divisible Substring

思路

首先发现一个事情，任意一个子串都可以由 \(s\) 的某一个后缀的后面删除一些字符得到。

因此假如 \(s\) 的某一个后缀的值为 \(x\)，那么我们可以减去后面的我们不用的数字 \(a\)，然后除以 \(10\) 的若干次幂得到，即 \(\frac{x - a}{10^n}\)。

于是得到：

\[\frac{x - a}{10^n} \equiv 0 \pmod p\\ \Rightarrow x \equiv a \pmod p \]

因此考虑处理后缀模 \(p\) 的结果，同时用桶存起来即可。

注意到有可能 \(a\) 比 \(x\) 大的情况，因此需要把这种情况删掉；同时注意到当 \(p = 2/5\) 时，\(\frac{x - a}{10^n} \bmod p\) 不存在（因为 \(10\) 与 \(p\) 不互质了），需要特殊处理。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define re register
#define int long long

using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;
int n,p,ans;
char s[N];
vector<int> v[N];

inline int read(){
    int r = 0,w = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9'){
        if (c == '-') w = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9'){
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return r * w;
}

signed main(){
    n = read(),p = read(),scanf("%s",s + 1);
    for (re int i = n,x = 0,mul = 1;i;i--,mul = mul * 10 % p){
        x = (x + mul * (s[i] - '0')) % p;
        if (!x) ans++;
        v[x].push_back(i);
    }
    for (re int i = 0;i < p;i++) sort(v[i].begin(),v[i].end());
    for (re int i = n,x = 0,mul = 1;i;i--,mul = mul * 10 % p){
        x = (x + mul * (s[i] - '0')) % p;
        ans += (upper_bound(v[x].begin(),v[x].end(),i) - v[x].begin() - 1);
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}