排序算法分类

排序算法比较表格填空

排序算法	平均时间复杂度	最坏时间复杂度	空间复杂度	是否稳定
冒泡排序	:————-:	:—–:	:—–:	:—–:
选择排序	:————-:	:—–:	:—–:	:—–:
直接插入排序	:————-:	:—–:	:—–:	:—–:
归并排序	:————-:	:—–:	:—–:	:—–:
快速排序	:————-:	:—–:	:—–:	:—–:
堆排序	:————-:	:—–:	:—–:	:—–:
希尔排序	:————-:	:—–:	:—–:	:—–:
计数排序	:————-:	:—–:	:—–:	:—–:
基数排序	:————-:	:—–:	:—–:	:—–:

排序算法比较表格

排序算法	平均时间复杂度	最坏时间复杂度	空间复杂度	是否稳定
冒泡排序	$O （ n^{2} ）$	$O （ n^{2} ）$	$O （ 1 ）$	是
选择排序	$O （ n^{2} ）$	$O （ n^{2} ）$	$O （ 1 ）$	不是
直接插入排序	$O （ n^{2} ）$	$O （ n^{2} ）$	$O （ 1 ）$	是
归并排序	$O (n l o g n)$	$O (n l o g n)$	$O （ n ）$	是
快速排序	$O (n l o g n)$	$O （ n^{2} ）$	$O （ l o g n ）$	不是
堆排序	$O (n l o g n)$	$O (n l o g n)$	$O （ 1 ）$	不是
希尔排序	$O (n l o g n)$	$O （ n^{s} ）$	$O （ 1 ）$	不是
计数排序	$O (n + k)$	$O (n + k)$	$O (n + k)$	是
基数排序	$O (N * M)$	$O (N * M)$	$O (M)$	是

注：

1 归并排序可以通过手摇算法将空间复杂度降到O（1），但是时间复杂度会提高。

2 基数排序时间复杂度为O（N*M），其中N为数据个数，M为数据位数。

辅助记忆

时间复杂度记忆-
- 冒泡、选择、直接排序需要两个for循环，每次只关注一个元素，平均时间复杂度为 $O （ n^{2} ）$
- 快速、归并、希尔、堆基于二分思想，log以2为底，平均时间复杂度为 $O (n l o g n)$
稳定性记忆-“快希选堆”（快牺牲稳定性）
- 排序算法的稳定性：排序前后相同元素的相对位置不变，则称排序算法是稳定的；否则排序算法是不稳定的。

原理理解

1 冒泡排序

1.1 过程

冒泡排序从小到大排序：一开始交换的区间为0~N-1，将第1个数和第2个数进行比较，前面大于后面，交换两个数，否则不交换。再比较第2个数和第三个数，前面大于后面，交换两个数否则不交换。依次进行，最大的数会放在数组最后的位置。然后将范围变为0~N-2，数组第二大的数会放在数组倒数第二的位置。依次进行整个交换过程，最后范围只剩一个数时数组即为有序。

1.2 动图

1.3 核心代码（函数）

//array[]为待排序数组，n为数组长度

 1 void BubbleSort(int array[], int n)
 2 {
 3     int i, j, k;
 4     for(i=0; i<n-1; i++)
 5         for(j=0; j<n-1-i; j++)
 6         {
 7             if(array[j]>array[j+1])
 8             {
 9                 k=array[j];
10                 array[j]=array[j+1];
11                 array[j+1]=k;
12             }
13         }
14 }

2 选择排序

2.1 过程

选择排序从小到大排序：一开始从0~n-1区间上选择一个最小值，将其放在位置0上，然后在1~n-1范围上选取最小值放在位置1上。重复过程直到剩下最后一个元素，数组即为有序。

2.2 动图

2.3 核心代码（函数）

//array[]为待排序数组，n为数组长度

 1 void selectSort(int array[], int n)
 2 {
 3     int i, j ,min ,k;
 4     for( i=0; i<n-1; i++)
 5     {
 6         min=i; //每趟排序最小值先等于第一个数，遍历剩下的数
 7         for( j=i+1; j<n; j++) //从i下一个数开始检查
 8         {
 9             if(array[min]>array[j])
10             {
11                 min=j;
12             }
13         }
14         if(min!=i)
15         {
16             k=array[min];
17             array[min]=array[i];
18             array[i]=k;
19         }
20     }
21 }

3 插入排序

3.1 过程

插入排序从小到大排序：首先位置1上的数和位置0上的数进行比较，如果位置1上的数大于位置0上的数，将位置0上的数向后移一位，将1插入到0位置，否则不处理。位置k上的数和之前的数依次进行比较，如果位置K上的数更大，将之前的数向后移位，最后将位置k上的数插入不满足条件点，反之不处理。

3.2 动图

3.3 核心代码（函数）

//array[]为待排序数组，n为数组长度

 1 void insertSort(int array[], int n)
 2 {
 3     int i,j,temp;
 4     for( i=1;i<n;i++)
 5     {
 6         if(array[i]<array[i-1])
 7         {
 8             temp=array[i];
 9             for( j=i;array[j-1]>temp;j--)
10             {
11                 array[j]=array[j-1];
12             }
13             array[j]=temp;
14         }
15     }
16 }

4 归并排序

4.1 过程

归并排序从小到大排序：首先让数组中的每一个数单独成为长度为1的区间，然后两两一组有序合并，得到长度为2的有序区间，依次进行，直到合成整个区间。

4.2 动图

4.3 核心代码（函数）

递归实现

////实现归并，并把数据都放在list1里面

 1 void merging(int *list1, int list1_size, int *list2,  int list2_size)
 2 {
 3     int i=0, j=0, k=0, m=0;
 4     int temp[MAXSIZE];
 5 
 6     while(i < list1_size && j < list2_size)
 7     {
 8         if(list1[i]<list2[j])
 9         {
10             temp[k++] = list1[i++];
11         }
12         else
13         {
14             temp[k++] = list2[j++];
15         }
16     }
17     while(i<list1_size)
18     {
19         temp[k++] = list1[i++];
20     }
21     while(j<list2_size)
22     {
23         temp[k++] = list2[j++];
24     }
25 
26     for(m=0; m < (list1_size+list2_size); m++)
27     {
28         list1[m]=temp[m];
29     }
30 }


//如果有剩下的，那么说明就是它是比前面的数组都大的，直接加入就可以了

void mergeSort(int array[], int n)
{
    if(n>1)
    {
        int *list1 = array;
        int list1_size = n/2;
        int *list2 = array + n/2;
        int list2_size = n-list1_size;

        mergeSort(list1, list1_size);
        mergeSort(list2, list2_size);

        merging(list1, list1_size, list2, list2_size);
    }
}


//归并排序复杂度分析：一趟归并需要将待排序列中的所有记录  
//扫描一遍，因此耗费时间为O(n),而由完全二叉树的深度可知，  
//整个归并排序需要进行[log2n],因此，总的时间复杂度为  
//O(nlogn),而且这是归并排序算法中平均的时间性能  
//空间复杂度：由于归并过程中需要与原始记录序列同样数量级的  
//存储空间去存放归并结果及递归深度为log2N的栈空间，因此空间  
//复杂度为O(n+logN)  
//也就是说，归并排序是一种比较占内存，但却效率高且稳定的算法

迭代实现

 1 void MergeSort(int k[],int n)  
 2 {  
 3     int i,next,left_min,left_max,right_min,right_max;  
 4     //动态申请一个与原来数组一样大小的空间用来存储
 5     int *temp = (int *)malloc(n * sizeof(int));  
 6     //逐级上升，第一次比较2个，第二次比较4个，第三次比较8个。。。  
 7     for(i=1; i<n; i*=2)  
 8     {  
 9         //每次都从0开始，数组的头元素开始  
10         for(left_min=0; left_min<n-i; left_min = right_max)  
11         {  
12             right_min = left_max = left_min + i;  
13             right_max = left_max + i;  
14             //右边的下标最大值只能为n  
15             if(right_max>n)  
16             {  
17                 right_max = n;  
18             }  
19             //next是用来标志temp数组下标的，由于每次数据都有返回到K，  
20             //故每次开始得重新置零  
21             next = 0;  
22             //如果左边的数据还没达到分割线且右边的数组没到达分割线，开始循环  
23             while(left_min<left_max&&right_min<right_max)  
24             {  
25                 if(k[left_min] < k[right_min])  
26                 {  
27                     temp[next++] = k[left_min++];  
28                 }  
29                 else  
30                 {  
31                     temp[next++] = k[right_min++];  
32                 }  
33             }  
34             //上面循环结束的条件有两个，如果是左边的游标尚未到达，那么需要把  
35             //数组接回去，可能会有疑问，那如果右边的没到达呢，其实模拟一下就可以  
36             //知道，如果右边没到达，那么说明右边的数据比较大，这时也就不用移动位置了  
37 
38             while(left_min < left_max)  
39             {  
40                 //如果left_min小于left_max，说明现在左边的数据比较大  
41                 //直接把它们接到数组的min之前就行  
42                 k[--right_min] = k[--left_max];   
43             }  
44             while(next>0)  
45             {  
46                 //把排好序的那部分数组返回该k  
47                 k[--right_min] = temp[--next];        
48             }  
49         }  
50     }  
51 }


//非递归的方法，避免了递归时深度为log2N的栈空间，
//空间只是用到归并临时申请的跟原来数组一样大小的空间，并且在时间性能上也有一定的提升，
//因此，使用归并排序是，尽量考虑用非递归的方法。

5 快速排序

5.1 过程

快速排序从小到大排序：在数组中随机选一个数（默认数组首个元素），数组中小于等于此数的放在左边，大于此数的放在右边，再对数组两边递归调用快速排序，重复这个过程。

5.2 动图

5.3 核心代码（函数）

推荐程序（好理解）

//接口调整

 1 void adjust_quicksort(int k[],int n)  
 2 {  
 3    quicksort(k,0,n-1);  
 4 }  
 5 void quicksort(int a[], int left, int right)  
 6 {  
 7     int i,j,t,temp;  
 8     if(left>right)   //（递归过程先写结束条件）
 9        return;  
10 
11     temp=a[left]; //temp中存的就是基准数  
12     i=left;  
13     j=right;  
14     while(i!=j)  
15     {  
16                    //顺序很重要，要先从右边开始找（最后交换基准时换过去的数要保证比基准小，因为基准                               
17                    //选取数组第一个数，在小数堆中） 
18                    while(a[j]>=temp && i<j)  
19                             j--;  
20                    //再找右边的  
21                    while(a[i]<=temp && i<j)  
22                             i++;  
23                    //交换两个数在数组中的位置  
24                    if(i<j)  
25                    {  
26                             t=a[i];  
27                             a[i]=a[j];  
28                             a[j]=t;  
29                    }  
30     }  
31     //最终将基准数归位 （之前已经temp=a[left]过了，交换只需要再进行两步）
32     a[left]=a[i];  
33     a[i]=temp;  
34 
35     quicksort(left,i-1);//继续处理左边的，这里是一个递归的过程  
36     quicksort(i+1,right);//继续处理右边的 ，这里是一个递归的过程  
37 }

6 堆排序

6.1 过程

堆排序从小到大排序：首先将数组元素建成大小为n的大顶堆，堆顶（数组第一个元素）是所有元素中的最大值，将堆顶元素和数组最后一个元素进行交换，再将除了最后一个数的n-1个元素建立成大顶堆，再将最大元素和数组倒数第二个元素进行交换，重复直至堆大小减为1。

注：完全二叉树
假设二叉树深度为n，除了第n层外，n-1层节点都有两个孩子，第n层节点连续从左到右。如下图
注：大顶堆
大顶堆是具有以下性质的完全二叉树：每个节点的值都大于或等于其左右孩子节点的值。
即，根节点是堆中最大的值，按照层序遍历给节点从1开始编号，则节点之间满足如下关系：
(1<=i<=n/2)

6.2 动图

6.3 核心代码（函数）

注意！！！数组从1开始，1~n

 1 void heapSort(int array[], int n)
 2 {
 3     int i;
 4     for (i=n/2;i>0;i--)
 5     {
 6         HeapAdjust(array,i,n);//从下向上，从右向左调整
 7     }
 8     for( i=n;i>1;i--)
 9     {
10         swap(array, 1, i);
11         HeapAdjust(array, 1, i-1);//从上到下，从左向右调整
12     }
13 }
14 void HeapAdjust(int array[], int s, int n )
15 {
16     int i,temp;
17     temp = array[s];
18     for(i=2*s;i<=n;i*=2)
19     {
20         if(i<n&&array[i]<array[i+1])
21         {
22             i++;
23         }
24         if(temp>=array[i])
25         {
26             break;
27         }
28         array[s]=array[i];
29         s=i;
30     }
31     array[s]=temp;
32 }
33 void swap(int array[], int i, int j)
34 {
35     int temp;
36 
37     temp=array[i];
38     array[i]=array[j];
39     array[j]=temp;
40 }

7 希尔排序

7.1 过程

希尔排序是插入排序改良的算法，希尔排序步长从大到小调整，第一次循环后面元素逐个和前面元素按间隔步长进行比较并交换，直至步长为1，步长选择是关键。

7.2 动图

7.3 核心程序（函数）

//下面是插入排序

 1 void InsertSort( int array[], int n)
 2 {
 3     int i,j,temp;
 4     for( i=0;i<n;i++ )
 5     {
 6         if(array[i]<array[i-1])
 7         {
 8             temp=array[i];
 9             for( j=i-1;array[j]>temp;j--)
10             {
11                 array[j+1]=array[j];
12             }
13             array[j+1]=temp;
14         }
15     }
16 }
17 //在插入排序基础上修改得到希尔排序
18 void SheelSort( int array[], int n)
19 {
20     int i,j,temp;
21     int gap=n; //~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
22     do{
23         gap=gap/3+1;  //~~~~~~~~~~~~~~~~~~
24         for( i=gap;i<n;i++ )
25         {
26             if(array[i]<array[i-gap])
27             {
28                 temp=array[i];
29                 for( j=i-gap;array[j]>temp;j-=gap)
30                 {
31                     array[j+gap]=array[j];
32                 }
33                 array[j+gap]=temp;
34             }
35         }
36     }while(gap>1);  //~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
37 
38 }

8 桶排序（基数排序和基数排序的思想）

8.1 过程

桶排序是计数排序的变种，把计数排序中相邻的m个”小桶”放到一个”大桶”中，在分完桶后，对每个桶进行排序（一般用快排），然后合并成最后的结果。

8.2 图解

8.3 核心程序

 1 #include <stdio.h>
 2 int main()
 3 {
 4     int a[11],i,j,t;
 5     for(i=0;i<=10;i++)
 6         a[i]=0;  //初始化为0
 7 
 8     for(i=1;i<=5;i++)  //循环读入5个数
 9     {
10         scanf("%d",&t);  //把每一个数读到变量t中
11         a[t]++;  //进行计数(核心行)
12     }
13 
14     for(i=0;i<=10;i++)  //依次判断a[0]~a[10]
15         for(j=1;j<=a[i];j++)  //出现了几次就打印几次
16             printf("%d ",i);
17 
18     getchar();getchar(); 
19     //这里的getchar();用来暂停程序，以便查看程序输出的内容
20     //也可以用system("pause");等来代替
21     return 0;
22 }

9 计数排序

9.1 过程

算法的步骤如下：
- 找出待排序的数组中最大和最小的元素
- 统计数组中每个值为i的元素出现的次数，存入数组C的第i项
- 对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）
- 反向填充目标数组：将每个元素i放在新数组的第C(i)项，每放一个元素就将C(i)减去1

9.2 图解

9.3 核心程序（函数）

程序1：

 1 #define NUM_RANGE (100)    //预定义数据范围上限，即K的值
 2 
 3 void counting_sort(int *ini_arr, int *sorted_arr, int n)  //所需空间为 2*n+k
 4 {  
 5        int *count_arr = (int *)malloc(sizeof(int) * NUM_RANGE);  
 6        int i, j, k;  
 7 
 8        //初始化统计数组元素为值为零 
 9        for(k=0; k<NUM_RANGE; k++){  
10                count_arr[k] = 0;  
11        }  
12        //统计数组中，每个元素出现的次数    
13        for(i=0; i<n; i++){  
14                count_arr[ini_arr[i]]++;  
15        }  
16 
17        //统计数组计数，每项存前N项和，这实质为排序过程
18        for(k=1; k<NUM_RANGE; k++){  
19                count_arr[k] += count_arr[k-1];  
20        }  
21 
22        //将计数排序结果转化为数组元素的真实排序结果
23        for(j=n-1 ; j>=0; j--){  
24            int elem = ini_arr[j];          //取待排序元素
25            int index = count_arr[elem]-1;  //待排序元素在有序数组中的序号
26            sorted_arr[index] = elem;       //将待排序元素存入结果数组中
27            count_arr[elem]--;              //修正排序结果，其实是针对算得元素的修正
28        }  
29        free(count_arr);  
30 }

 

程序2：C++(最大最小压缩桶数)

 1 public static void countSort(int[] arr) {
 2         if (arr == null || arr.length < 2) {
 3             return;
 4         }
 5         int min = arr[0];
 6         int max = arr[0];
 7         for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
 8             min = Math.min(arr[i], min);
 9             max = Math.max(arr[i], max);
10         }
11         int[] countArr = new int[max - min + 1];
12         for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
13             countArr[arr[i] - min]++;
14         }
15         int index = 0;
16         for (int i = 0; i < countArr.length; i++) {
17             while (countArr[i]-- > 0) {
18                 arr[index++] = i + min;
19         }
20 }

10 基数排序

10.1 过程

基数排序是基于数据位数的一种排序算法。
它有两种算法
①LSD–Least Significant Digit first 从低位（个位）向高位排。
②MSD– Most Significant Digit first 从高位向低位（个位）排。
时间复杂度O(N*最大位数)。
空间复杂度O(N)。

10.2 图解

对a[n]按照个位0~9进行桶排序：

对b[n]进行累加得到c[n]，用于b[n]中重复元素计数
！！！b[n]中的元素为temp中的位置！！！跳跃的用++补上：

temp数组为排序后的数组，写回a[n]。temp为按顺序倒出桶中的数据（联合b[n],c[n],a[n]得到），重复元素按顺序输出：

10.3 核心程序

//基数排序

 1 //LSD  先以低位排，再以高位排  
 2 //MSD  先以高位排，再以低位排  
 3 void LSDSort(int *a, int n)  
 4 {  
 5     assert(a);  //判断a是否为空，也可以a为空||n<2返回
 6     int digit = 0;   //最大位数初始化
 7     for (int i = 0; i < n; ++i)  
 8     {   //求最大位数
 9         while (a[i] > (pow(10,digit)))  //pow函数要包含头文件math.h，pow(10,digit)=10^digit
10         {  
11             digit++;  
12         }  
13     }  
14     int flag = 1;   //位数
15     for (int j = 1; j <= digit; ++j)  
16     {  
17         //建立数组统计每个位出现数据次数（Digit[n]为桶排序b[n]）  
18         int Digit[10] = { 0 };  
19         for (int i = 0; i < n; ++i)  
20         {  
21             Digit[(a[i] / flag)%10]++;  //flag=1时为按个位桶排序
22         }  
23          //建立数组统计起始下标（BeginIndex[n]为个数累加c[n]，用于记录重复元素位置
24          //flag=1时，下标代表个位数值，数值代表位置，跳跃代表重复）
25         int BeginIndex[10] = { 0 };  
26         for (int i = 1; i < 10; ++i)  
27         {  
28             //累加个数
29             BeginIndex[i] = BeginIndex[i - 1] + Digit[i - 1];  
30         }  
31         //建立辅助空间进行排序 
32         //下面两条可以用calloc函数实现
33         int *tmp = new int[n];  
34         memset(tmp, 0, sizeof(int)*n);//初始化  
35         //联合各数组求排序后的位置存在temp中
36         for (int i = 0; i < n; ++i)  
37         {  
38             int index = (a[i] / flag)%10;  //桶排序和位置数组中的下标
39             //计算temp相应位置对应a[i]中的元素，++为BeginIndex数组数值加1
40             //跳跃间隔用++来补，先用再++
41             tmp[BeginIndex[index]++] = a[i];  
42         }  
43         //将数据重新写回原空间  
44         for (int i = 0; i < n; ++i)  
45         {  
46             a[i] = tmp[i];  
47         }  
48         flag = flag * 10;  
49         delete[] tmp;  
50     }  
51 }

附：

1 完整程序框架（冒泡排序举例）

1.1 VS2010程序

 1 #include "stdafx.h"
 2 #include "stdio.h"
 3 #include <stdlib.h>
 4 
 5 void BubbleSort(int array[], int n){
 6     int i,j,k,count1=0, count2=0;
 7     for(i=0; i<n-1; i++)
 8         for(j=n-1; j>i; j--)
 9         {
10             count1++;
11             if(array[j-1]>array[j])
12             {
13                 count2++;
14                 k=array[j-1];
15                 array[j-1]=array[j];
16                 array[j]=k;
17             }
18         }
19     printf("总共的循环次序为：%d,  总共的交换次序为：%d\n\n", count1, count2);
20 }
21 
22 
23 int main(int argc, _TCHAR* argv[])
24 {
25     int as[]={0,1,2,3,4,6,8,5,9,7};
26     BubbleSort(as, 10);
27     for(int i=0; i<10; i++)
28     {
29         printf("%d", as[i]);
30     }
31     printf("\n\n");
32     system("pause");
33     return 0;
34 }

1.2 执行程序（OJ）

 1 #include <stdio.h>
 2 
 3 void BubbleSort(int array[], int n){
 4     int i,j,k,count1=0, count2=0;
 5     for(i=0; i<n-1; i++)
 6         for(j=n-1; j>i; j--)
 7         {
 8             count1++;
 9             if(array[j-1]>array[j])
10             {
11                 count2++;
12                 k=array[j-1];
13                 array[j-1]=array[j];
14                 array[j]=k;
15             }
16         }
17     printf("总共的循环次序为：%d,  总共的交换次序为：%d\n\n", count1, count2);
18 }
19 
20 int main()
21 {
22     int as[]={0,1,2,3,4,6,8,5,9,7};
23     BubbleSort(as, 10);
24     int i=0;
25     for(i=0; i<10; i++)
26     {
27         printf("%d", as[i]);
28     }
29     return 0;
30 }

2 关于交换的优化

不用中间变量进行交换

if(A[j] <= A[i]){
    A[j] = A[j] + A[i];
    A[i] = A[j] - A[i];
    A[j] = A[j] - A[i];
}

3 C语言实现数组动态输入

 1 #include <stdio.h>  
 2 #include <assert.h>  //断言头文件
 3 #include <stdlib.h>  
 4 
 5 int main(int argc, char const *argv[])  
 6 {  
 7     int size = 0;  
 8     scanf("%d", &size);   //首先输入数组个数
 9     assert(size > 0);     //判断数组个数是否非法
10 
11     int *array = (int *)calloc(size, sizeof(int));  //动态分配数组
12     if(!R1)  
13     {  
14         return;           //申请空间失败  
15     }  
16 
17     int i = 0;  
18     for (i = 0; i < size; ++i) {  
19         scanf("%d", &array[i]);  
20     }  
21 
22     mergeSort(array, size);  
23     printArray(array, size);  
24 
25     free(array);  
26     return 0;  
27 }

注：

1.colloc与malloc类似,但是主要的区别是存储在已分配的内存空间中的值默认为0,使用malloc时,已分配的内存中可以是任意的值.
2.colloc需要两个参数,第一个是需要分配内存的变量的个数,第二个是每个变量的大小.

发表于 2018-08-21 22:50 Z上善若水阅读(215) 评论(0) 收藏举报

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