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二刷。写一点不那么宝宝的内容。

FFT

我们希望快速计算加乘卷积。FFT 是一种变换，使得卷积能转化成点值乘积，从而线性计算。大多数变换通常都是这个思路。

卷积在多项式中的意义，就是多项式乘法。
然后 FFT 在多项式中的意义就是，求出 \(\omega_n^0, \omega_n^1, \dots,\omega_n^{n-1}\) 处的点值。逆变换就是反过来。

• 为什么选择单位根？

这个问题。讲道理单从变换的角度，选择任意 \(n\) 个“线性无关”的点值显然都是可行的。但是你不会算多项式多点求值，你也不会快速插值。寄。
单位根具有良好的周期性，以及良好的分治结构。

关于证明，假设我们取出了 \(x^0\sim x^{n-1}\) 这些点值。

\[\begin{aligned} FFT(A)_i \times FFT(B)_i&=(\sum_{j=0}^{n-1}A_jx_i^j)(\sum_{j=0}^{n-1}B_jx_i^j)\\ &=\sum_{t=0}^{2n-2}\sum_{j+k=t}A_jB_k \cdot x_i^j\cdot x_i^k\\ &=\sum_{t=0}^{2n-2}C_tx_i^t\\ &=FFT(C)_i \end{aligned} \]

达到了点乘的效果。然后从这里也可以窥见，如果我们取 \(x_i\) 为 \(\omega_n^i\) 的话，由单位根的周期性，\(\omega_n^i \times \omega_n^j = \omega_n^{i+j\bmod n}\)。FFT 对应的卷积，实际上是循环卷积。只不过我们为了得到正常模样的卷积，在高位补 0，补满到 \(2\) 的幂次。