非确定性算法

我也不知道这种东西有什么用。即使考场上出了正解是随机化的，我估计也看不出来。

哈希

这类太多了。除了串串 Hash，主要讲几个经典的。

P2757

显然 \(len>3\) 没用。
排列。重要条件。
枚举等差中项，发现不存在以其为中项的等差序列，等价于，其他两项都在同一边。
也就是在值域标成 01 序列，大概是一个回文的。
线段树维护正反 Hash。复杂度一个老哥。

随机映射

CF1746F

判断出现次数是 \(k\) 的倍数，不是那么好做。
这种题目需要猜到一个足够强的必要条件。这里是，\(k|\sum_{l\le i \le r}a_i\)。然后大概随个 50 轮，每轮给 \(a_i\) 随机映射一下。

正确性概率的话，假设一个错误的和，做随机映射之后对了，可以认为他是在 \(\bmod k\) 的时候随机了一个余数，那随到 \(0\) 的概率大概就是 \(\frac 1 k\)。那随个 50 轮就几乎为 \(0\) 了。

CF1641D

这个题告诉我们，不要算错正确概率。
第一反应就是把大大的值域随机映射到 \([0, 20)\) 上。
然后这里正确概率是 \(\binom{15}5\div\binom{20}{5}=0.2\) 不是 \(\binom{20}{10}\div \binom{20}{5}^2=7\times 10^{-4}\)。
那你随个 20 次正确概率高达 \(99\%\)。（但是测试点很多可能会挂？）
可以高维前缀 min 做。复杂度 \(O(cn+c\times 20 \times 2^{20})\)。\(c\) 是随机次数。

随机赋值

这里有两个矩阵题，总的来说都是用低复杂度的向量乘，换高复杂度的矩阵乘。

QOJ5825

随 20 个向量乘上去，看 \(v\times A \times B=v\times C\) 是否成立就好。因为向量的乘法是 \(O(n^2)\) 的。

P1224

两个向量数量积，就是其中一个转置一下，再乘起来。即 $v_1\cdot v_2=v_1\times v_2^{\text { T}} $。
那我们把 \(n\) 个向量堆成一个 \(n\times d\) 的矩阵 \(A\)，计算 \(B=A\times A^\text T\)。发现 \(B\) 的意义是，\(B_{i,j}=v_i\cdot v_j\)。

• \(k=2\)：发现只要找到 \(B_{i,j}=0\) 就是答案。那考虑 check 是否全 \(1\)。多随几个行向量 \(t\)，拿 \(B\) 右乘一下，看看得到的行向量的每个元素是不是都是 \(t\) 中每个元素的和。向量乘矩阵，复杂度是平方的。
• \(k=3\)：注意到 \(B\) 每个元素平方之后，\(1,2\) 都会变成 \(1\)，再进行 \(k=2\) 就好。但是这里不能直接计算矩阵乘法之后某个元素平方之后的值，考虑拆 \(res_j=\sum_{i=1}^n v_{1,i}\sum_{k=1}^d\sum_{l=1}^dA_{ik}A_{il}A_{kj}^{\text { T}}A_{kl}^{\text { T}}\)，可以拆出来一个 \(d\times n\) 的矩阵和 \(A\) 预处理的形式，剩下来直接枚举，复杂度 \(O(nd^2)\) 可以接受。

总复杂度 \(O(nd^2c)\)，\(c\) 是随机次数。

随机打乱

P7606

经典结论是，数轴上从原点开始每次随机正负号，移动 \(1\) 单位长度，走到的位置的绝对值最大值是 \(O(\sqrt n)\) 级别的，而且常数不大。

然后这题就是一个背包，游走的限制可以根号一下，总复杂度 \(O(\frac {n^2p^2}w)\)。