非确定性算法

我也不知道这种东西有什么用。即使考场上出了正解是随机化的，我估计也看不出来。

哈希

这类太多了。除了串串 Hash，主要讲几个经典的。

P2757

显然 \(len>3\) 没用。
排列。重要条件。
枚举等差中项，发现不存在以其为中项的等差序列，等价于，其他两项都在同一边。
也就是在值域标成 01 序列，大概是一个回文的。
线段树维护正反 Hash。复杂度一个老哥。

随机映射

CF1746F

判断出现次数是 \(k\) 的倍数，不是那么好做。
这种题目需要猜到一个足够强的必要条件。这里是，\(k|\sum_{l\le i \le r}a_i\)。然后大概随个 50 轮，每轮给 \(a_i\) 随机映射一下。

正确性概率的话，假设一个错误的和，做随机映射之后对了，可以认为他是在 \(\bmod k\) 的时候随机了一个余数，那随到 \(0\) 的概率大概就是 \(\frac 1 k\)。那随个 50 轮就几乎为 \(0\) 了。

CF1641D

这个题告诉我们，不要算错正确概率。
第一反应就是把大大的值域随机映射到 \([0, 20)\) 上。
然后这里正确概率是 \(\binom{15}5\div\binom{20}{5}=0.2\) 不是 \(\binom{20}{10}\div \binom{20}{5}^2=7\times 10^{-4}\)。
那你随个 20 次正确概率高达 \(99\%\)。（但是测试点很多可能会挂？）
可以高维前缀 min 做。复杂度 \(O(cn+c\times 20 \times 2^{20})\)。\(c\) 是随机次数。

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然后这里有两个 colour-coding 的题。

P7450

首先别管这个傻逼中位数。那么 colour-coding 就是把每种颜色随机映射到一个 \([0, k)\) 的整数中，达到能够状压的水平。
然后就是【模板】最小斯坦纳树。

考虑带上中位数怎么做。那么首先跑一遍 Steiner，保证答案最小。
在这个基础上，二分中位数，给美味值 \(\le mid\) 的权值标为 \(+1\)，\(>\) 的标为 \(-1\)。那么带着一个 pair（双关键字比较）跑 Steiner，看 second 是不是非负。

然后关于正确概率，一个方案被随机映射之后仍然有正确性的概率显然不小于 \(\frac {k!}{k^k}\)。以上。

ARC213C

好像是一个世纪好题。官解并不是随机化，这里讲一下 colour-coding。

题意转化为，给 T1 中 \(k\) 的每个子树染不同颜色。在 T2 中找不同子树中，颜色不同的 \(4\) 个点，权值和最小。

那么对于每个 \(k\)，随机上色之后，对 T2 中的 \(k\)，处理出来 \(F_{colour,v}\) 表示 \(v\) 子树内，颜色为 \(colour\) 的最小值，统计答案的时候怎么状压一下就好。那由于 \(\sum deg_u =O(n)\)，所以复杂度是可以接受的。

可做到 \(O(n\log n)\)。不是重点，稍微提一下。
关于 \(F\) 的计算：考虑重链剖分，对于每个 \(k\) 的轻子树暴力枚举轻子树，这个总枚举量是 \(O(n\log n)\) 的。
然后对于重儿子，和“父亲为根”的子树，可以写成 \(O(1)\) 个 T2 上 DFS 序的区间，那么我对于 T1，我能够支持：提前把结点 re-id 成 T2 上的 DFS 序，然后对于一个子树，区间查权值最小。

那很暴力的做法是，值域线段树合并。一个老哥。而且这部分是可以不乘上随机次数的，放在外面预处理。那么随个 300 次可以通过。

upd：我草这个太石了，又是 7kB 的一天/tuu 提交记录挂一下。

随机赋值

这里有两个矩阵题，总的来说都是用低复杂度的向量乘，换高复杂度的矩阵乘。

QOJ5825

随 20 个向量乘上去，看 \(v\times A \times B=v\times C\) 是否成立就好。因为向量的乘法是 \(O(n^2)\) 的。

P1224

两个向量数量积，就是其中一个转置一下，再乘起来。即 $v_1\cdot v_2=v_1\times v_2^{\text { T}} $。
那我们把 \(n\) 个向量堆成一个 \(n\times d\) 的矩阵 \(A\)，计算 \(B=A\times A^\text T\)。发现 \(B\) 的意义是，\(B_{i,j}=v_i\cdot v_j\)。

• \(k=2\)：发现只要找到 \(B_{i,j}=0\) 就是答案。那考虑 check 是否全 \(1\)。多随几个行向量 \(t\)，拿 \(B\) 右乘一下，看看得到的行向量的每个元素是不是都是 \(t\) 中每个元素的和。向量乘矩阵，复杂度是平方的。
• \(k=3\)：注意到 \(B\) 每个元素平方之后，\(1,2\) 都会变成 \(1\)，再进行 \(k=2\) 就好。但是这里不能直接计算矩阵乘法之后某个元素平方之后的值，考虑拆 \(res_j=\sum_{i=1}^n v_{1,i}\sum_{k=1}^d\sum_{l=1}^dA_{ik}A_{il}A_{kj}^{\text { T}}A_{kl}^{\text { T}}\)，可以拆出来一个 \(d\times n\) 的矩阵和 \(A\) 预处理的形式，剩下来直接枚举，复杂度 \(O(nd^2)\) 可以接受。

总复杂度 \(O(nd^2c)\)，\(c\) 是随机次数。

随机打乱

P7606

经典结论是，数轴上从原点开始每次随机正负号，移动 \(1\) 单位长度，走到的位置的绝对值最大值是 \(O(\sqrt n)\) 级别的，而且常数不大。

然后这题就是一个背包，游走的限制可以根号一下，总复杂度 \(O(\frac {n^2p^2}w)\)。