Atcoder ABC402 题解

ABC402

A

扫一遍字符串，只输出小于等于 Z 的即可。

submission.

B

建一个队列，\(1\) 操作就 push 一个元素进去，\(2\) 操作就输出队首并 pop。

submission.

C

用一个 vector 数组记录下每种食物所在的菜肴编号。
扫一遍 \(b\) 数组，每次暴力将 \(b_i\) 所在的菜肴的 \(k\) 减一，什么时候减到 \(0\) 了，什么时候这个菜肴就可以吃了。

每个菜肴里每个配料最多扫一遍。时间复杂度 \(O(n+\sum k)\)。

submission.

D

先说结论：记一条过点 \(a\) 和点 \(b\) 的直线的【斜率】\(k\) 为 \(a+b\)。两条直线 \(i, j\) 平行，等价于 \(k_i \equiv k_j \pmod n\)。

证明也很平凡，考虑两条“相邻”的直线，即，直线【平移】一个单位，就是将 \(a\) 减一，\(b\) 加一（有可能反过来，但是他们的和一定是不变的）。而将 \(1\) 减一会变成 \(n\)，与 \(0\) 模 \(n\) 同余；将 \(n\) 加一同理。
结合图示，还是很明显的。

每次多加一条直线 \(i\)，就是加上 \(i-1\) 条之前的，减去斜率相同的。
桶记录一下就行。

submission.

E

非常诈骗的概率期望题。
所谓的【最优策略】很恼人，不能用有效的方法直接确定。

考虑搜索。

有如下伪代码：

int ans
for(i : 1~n, c[i] <= x) {
	ans := max(ans, p[i] * (s[i] + calc(x - c[i])) + (1-p[i]) * calc(x - c[i]))
}
return ans

中间计算贡献的部分，严格按照期望的定义：概率与收益相乘。
这样算出来的答案是错误的（偏小）。原因在于我们没有必要将已通过的题目再交一遍。
于是传参多记录一个状压变量，记录第 \(i\) 题是否已通过。

当然，直接搜索是过不了的，需要记忆化。
状态数 \(O(X\cdot 2^n)\)，转移 \(O(n)\)，粗略估计时间复杂度不高于 \(O(Xn \cdot 2^n)\)，可以通过。

submission.

F

这题一看，\(2n-2 \le 38\) 的数据范围，一看就很折半。可惜这类题没做过。

我们将 \(a_{i, j}\) 为 \(a_{i, j} \times 10^{2n-i-j}\)，这样路径权值就是 \(a\) 之和。

显然是从 \((1, 1)\) 走 \(n-1\) 步（此时恰好走到副对角线上），从 \((n, n)\) 走 \(n-1\) 步（也恰好走到副对角线上），再合并。

我们用两个 set 数组，记录两端（起点开始用 \(s1_i\) 记录，终点开始用 \(s2_i\) 记录）走到 \((i, n-i+1)\) 的路径权值和。
记 \(P\) 为模数。
枚举 \(s1_i\) 中的数 \(x\)，我们希望不【进位】，看看对应 \(s2_i\) 中最大的小于 \(P-x\) 的数；如果不存在，就只好【进位】，拿 \(s2_i\) 中最大的数加上 \(x\)，对 \(P\) 取模，更新答案。

\(s1\) 和 \(s2\) 的数字个数都是 \(2^n\) 级别的。
时间复杂度 \(O(2^n \log 2^n) = O(n \cdot 2^n)\)。

submission.

G

似乎要大力推式子以及用整除非常牛的性质，场过 \(5\) 人，显然不可做。