Atcoder ABC400 题解

ABC400

A

查看一下 \(a\) 是不是 \(400\) 的因数即可，是就输出 \(\frac{400}{a}\)，否则输出 inf。

submission.

B

一个个幂累加，一旦超出 \(10^9\) 就 break，免得爆 long long。
安全起见，我开了 __int128。

submission.

C

我们从小到大枚举 \(a\)，如果存在一个 \(b\)，就一定有 \(b^2 \le \frac{n}{2^a}\)。于是满足条件的 \(b\) 有 \(\sqrt{\frac{n}{2^a}}\) 个。

但是，如果这个 \(b\) 是 \(2\) 的倍数，这个数会在更小的 \(a\) 被统计到。
我们钦定 \(b\) 为奇数，于是对于一个 \(a\)，满足条件的数就是 \(\left \lceil \frac{\sqrt{\frac{n}{2^a}}}{2} \right \rceil\) 个。求和即可。

submission.
注意要手写 sqrt，否则会有精度误差。

另外，这题也可以直接 $ \left \lfloor \sqrt{\frac{N}{4}} \right \rfloor + \left \lfloor \sqrt{\frac{N}{2}} \right \rfloor$。

D

对于每个点，向各个方向都可以踹一步，故向各个方向的 \(1\) 或 \(2\) 步连权为 \(1\) 的边。
对于每个点，向各个方向的 . 连权为 \(0\) 的边，代表当前格子被踹成路或本来就是路，可以花费 \(0\) 的代价走。

然后 01BFS 或 Dijkstra 就行。我有 Dijkstra 板子，故粘之。

submission.

E

既然是需要偶次方乘积，不妨先开根号，这时就没有偶次方的限制了。
此时好数的范围要求在 \(\sqrt N \le 10^6\) 以内。
只需要预处理 \([1, 10^6]\) 以内的答案就行。

先用埃氏筛弄出每个数有几种质因数，再在质因数种数为 \(2\) 的数中弄个前缀 \(\max\) 就行。

submission.

F

？

G

补。

我们做一个充分性转化，转化成：
对于每个 \(i\)，要从 \(x_i,y_i,z_i\) 中任选一个，满足选 \(x\) 的个数、选 \(y\) 的个数、选 \(z\) 的个数均为偶数。求最后的总和最大值。
我们发现，这样即便会统计到一些错的方案，但是答案也一定是这个问题的最优。

考虑 easy version，即不管偶数的限制。显然按照 \(\max(x_i, y_i, z_i)\) 降序排列，取前 \(2k\) 个即可。
如果管偶数的限制呢？直观感受是，前 \(2k\) 个里面只会有 eps 个不被选到。（注意力该多么惊人才能注意到！）
这个 eps 等于 \(3\)。下证：

若前 \(2k\) 里有 \(4\) 个没被选到，根据抽屉原理，这 \(4\) 个至少有两个选 \(x\)，或两个选 \(y\)，或两个选 \(z\)。同理，后 \(n-2k\) 个也会有 \(4\) 个选了的，至少有选了两个相同的。这两个在前 \(2k\) 之外选的，如果被替换到 \(2k\) 之内的那两个，不会改变奇偶性的同时，也会使总和更优。
（严谨性有待杜爹确认）

于是可以 DP 了。设 \(f_{i, j, S}\) 表示考虑到前 \(i\) 个，有 \(j\) 个没选，集合 \(S\) 的第 \(0\) 位为奇就表示选 \(x\) 的个数是奇数，等等；设 \(g_{i, j, S}\) 表示考虑到 \([i, n]\)，有 \(j\) 个选了，集合 \(S\) 同理。

转移是平凡的。

submission.