[ARC174E] Existence Counting 题解

记限制序列为 \(a\)，排列数为 \(A_n^m\)。

对于字典序的限制，我们一位一位填，考虑第一次与 \(a\) 出现不同的是哪一位。

具体地，我们从 \(1\) 到 \(k\) 枚举 \(i\)，要填的数 \(v\) 只有两种可能：

1. \(v = a_i\)。
2. \(v < a_i\) 且 \(v\) 未在 \(a_1, a_2, \cdots ,a_{i-1}\) 中出现过。

对于 case 1，我们记 \(suf_i\) 表示前 \(i-1\) 位与 \(a_i\) 填得一样，第 \(i\) 位开始不做限制（只要互不相同），填出的序列字典序小于等于 \(a\) 的方案数。
记 \(num_i\) 为前 \(i\) 位，小于 \(a_i\) 但之前未选的数的个数，树状数组轻松处理。
若第 \(i\) 位填得一样，那么贡献为 $ suf_{i+1}$。若第 \(i\) 位填得小，那么后面随便填，贡献为 \(num_i \times A_{n-i}^{k-i}\)。故 \(suf_i = suf_{i+1} + num_i \times A_{n-i}^{k-i}\)。

那么 case 1 的情况即是：\(ans_{a_i} \gets ans_{a_i} + suf_{i+1}\)，其他数的贡献不用算。

再看 case 2。这时因为已经有当前填的数 \(v<a_i\) 了，故后面随便填。既然随便填，就要把所有数的贡献全部算算。
对于当前一个未选的数 \(x\)：

• 若 \(x < a_i\)，分为第 \(i\) 位填 \(x\) 和第 \(i\) 位不填 \(x\) 两种情况。
  第 \(i\) 位填 \(x\)，就是第 \(i\) 位定死，后面随便填；否则，第 \(i\) 位填除了 \(x\)，有 \(num_i - 1\) 种选择，后面随便填。至于 \(k-i\) 因子，是枚举 \(x\) 放哪。
  有 \(ans_x \gets ans_x + 1 \times A_{n-i}^{k-i} + (num_i - 1) \times (k-i) \times A_{n-i-1}^{k-i-1}\)。
• 若 \(x \ge a_i\)，那第 \(i\) 位有 \(num_i\) 种选择，后面随便填。
  有 \(ans_x \gets ans_x + num_i \times (k-i) \times A_{n-i-1}^{k-i-1}\)。

问题来了，如何快速处理这一串更新呢？
注意到他们实际上都是区间加，用树状数组区间修改，最后单点查询。
那如何将已选的数刨掉贡献呢？
我们增加一个【锁定】操作，在每次 case 1 的时候就会有一个数已选，在这时候将 \(ans\) 确定下来，之后不接受树状数组的单点查询，也就刨掉了之后的贡献操作。
最后，将没有【锁定】的数的答案设为树状数组单点查询的结果即可。

时间复杂度 \(O(k \log n)\)。

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